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Paralelogramos são quadriláteros cujos lados opostos são paralelos. São classificados em retângulos, losangos e quadrados. Um quadrilátero é uma figura geométrica plana que possui quatro lados formados por segmentos de reta.
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O que é paralelogramo e exemplos?
Ele faz parte dos estudos da geometria plana sendo um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Em outras palavras, os paralelogramos são polígonos de quatro lados opostos congruentes (que possuem a mesma medida), por exemplo, o quadrado, o losango e o retângulo. E outra pergunta, qual é o formato de um paralelogramo? Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.
Como saber se uma figura é um paralelogramo?
Para ser um paralelogramo, o polígono deve possuir os lados opostos paralelos. Como características específicas, temos que: Todo paralelogramo é composto por quatro lados, e os lados opostos são paralelos. Qual polígono é um paralelogramo?
Os paralelogramos pertencem a uma dessas classificações especiais, que é realizada para o grupo dos quadriláteros. Dessa forma, para ser paralelogramo, o polígono deve ser um quadrilátero que possui a seguinte definição: todo quadrilátero que possui lados opostos paralelos é chamado de paralelogramo.
Correspondentemente, quais desses quadriláteros são paralelogramos?
Paralelogramos são os quadriláteros que possuem lados iguais e paralelos dois a dois. Neste grupo estão o paralelogramo propriamente dito, o retângulo, o losango e o quadrado. Quantos vértices tem um paralelogramo? Elementos do Paralelogramo
Quatro vértices: os vértices são pontos onde os segmentos de retas que formam os lados se encontram. Além disso, nos vértices é que são formados os ângulos. Quatro ângulos internos: os ângulos internos e opostos possuem a mesma medida. A soma dos ângulos internos é igual a 360°.
Tem 4 lados 4 vértices e 4 ângulos?
Os quadriláteros são os polígonos que possuem 4 lados, 4 vértice e 4 ângulos. Conheça os principais quadriláteros: retângulo, quadrado, losango, paralelogramo, trapézio. Quantos eixos tem um paralelograma? Paralelogramo Retângulo – Possui lados opostos iguais, quatro ângulos retos, e diagonais iguais que se cruzam e dois eixos de simetria.
Mantendo isto em consideração, quantas faces tem um paralelogramo?
6 faces (paralelogramos) 8 vértices.
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Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.[1][2]
Definição[editar | editar código-fonte]
Paralelogramo e suas diagonais
Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.
Elementos[editar | editar código-fonte]
Um paralelogramo tem:[1][2]
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Um paralelogramo possui:[1][2]
- lados opostos congruentes;
- ângulos opostos congruentes;
- suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
- ângulos colaterais suplementares;
- a soma dos ângulos internos igual a ;
- a soma dos ângulos externos igual a ;
Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.
Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
Demonstrações das propriedades[1][editar | editar código-fonte]
Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.
1. Lados opostos congruentes[editar | editar código-fonte]
Dado o paralelogramo , mostraremos que e . Para tanto, traçamos a diagonal . Como e , tomando como transversal temos que (alternos internos) e (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:
RecíprocaMostraremos que todo quadrilátero convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que e , implica . Logo, são congruentes os ângulos e , o que implica . Um raciocínio análogo mostra que . Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.
2. Ângulos opostos congruentes[editar | editar código-fonte]
Dado o paralelogramo , mostraremos que e . A partir da demostração anterior temos que:
e
.
Como então substituindo (2) em (3) temos:
.
E, temos ainda , que usando (1) fornece:
.
De (3) e (4), concluímos que . Para o caso o raciocínio é análogo.
RecíprocaMostraremos que todo quadrilátero convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos e , logo . Como , segue que . Portanto, . Um raciocínio análogo prova que . Isso completa a prova.
3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios[editar | editar código-fonte]
Diagonais se intersectam no ponto médio.
Seja um paralelogramo e consideremos suas diagonais e . Denotamos por a interseção destas diagonais. Como e são paralelas, temos que os ângulos e são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos e . Como e são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:
Assim temos que é ponto médio de e , logo é ponto médio e intersecção das diagonais.
RecíprocaMostraremos que todo quadrilátero plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja o ponto de interseção das diagonais e . Como , e , temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que . Donde seque que . Analogamente, vemos que . Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.
4. Ângulos consecutivos suplementares[editar | editar código-fonte]
Demonstração da propriedade
Seja um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos e são suplementares. Com efeito, como e são paralelas e é uma transversal, temos que (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que e são suplementares, ou seja:
(2)
e substituindo (1) em (2) temos:
como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.
5. Soma dos ângulos internos[editar | editar código-fonte]
Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é .
6. Soma dos ângulos externos[editar | editar código-fonte]
Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é .
Perímetro[editar | editar código-fonte]
Denotando por e os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:
Área[editar | editar código-fonte]
Paralelogramo de base e altura .
A área de um paralelogramo é dada por:[1]
onde, é o comprimento de qualquer um de seus lados e é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.
Equivalentemente, temos:[2]
onde, e são os comprimentos de dois lados adjacentes e é o ângulo definido por estes lados.
Ou, ainda, a área pode ser calculado por:
Paralelogramo , sendo o ponto de interseção de suas diagonais e .
onde, e são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto determinando quatro triângulos , , , . Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos e são congruentes, assim como os triângulos e . Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por e os comprimentos das diagonais e , respectivamente, temos:
Aqui, é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo pode ser calculada por:[1]
.Por fim, como , segue o resultado desejado.
Ver também[editar | editar código-fonte]
Existem três paralelogramos especiais:
- retângulo;
- quadrado;
- losango.
Referências
- ↑ a b c d e f Dolce, O.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 - Geometria Plana 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863
- ↑ a b c d Bronshtein, I.N.; et al. (2007). Handbook of Mathematics 5 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 9783540721215