Vamos escrever a regra e considerar sua aplicação com exemplos.
Ao dividir uma fração decimal por um número natural:
1) divida sem prestar atenção à vírgula;
2) quando a divisão da parte inteira terminar, coloque uma vírgula na parte privada.
Se a parte inteira for menor que o divisor, a parte inteira do quociente será zero.
Exemplos de divisão de frações decimais por números naturais.
Dividimos sem prestar atenção à vírgula, ou seja, dividimos 348 por 6. Ao dividir 34 por 6, pegamos 5 cada. 5 ∙ 6 \u003d 30, 34-30 \u003d 4, ou seja, o resto é 4 .
A diferença entre dividir uma fração decimal por um número natural e dividir inteiros é apenas que quando a divisão da parte inteira termina, colocamos uma vírgula no quociente. Ou seja, ao passar por uma vírgula, antes de descer para o resto da divisão da parte inteira, 4, o número 8 da parte fracionária, escrevemos uma vírgula no quociente.
Então, 34,8:6=5,8.
Como 5 não é divisível por 12, escrevemos zero no quociente. A divisão da parte inteira acabou, no privado colocamos uma vírgula.
Demolimos 1. Ao dividir 51 por 12, tiramos 4 cada. O restante é 3.
Demolição 6. 36:12=3.
Assim, 5,16:12=0,43.
A parte inteira do dividendo é zero. Como zero não é divisível por 38, colocamos no quociente 0. A divisão da parte inteira acabou, no quociente escrevemos uma vírgula.
Demolimos 6. Como 6 não é divisível por 38, escrevemos mais um zero no quociente.
Demolimos 4. Ao dividir 64 por 38, tiramos 1 cada. O restante é 26.
Demolição 6. 266:38=7.
Então, 0,646:38=0,017.
Ao dividir 1491 por 325, tiramos 4 cada. O restante é 191. Demolimos 7. Ao dividir 1917 por 325, tiramos 5 cada. O restante é 292.
Como a divisão da parte inteira está concluída, escrevemos uma vírgula na parte privada.
EU. Para dividir uma fração decimal por um número natural, você precisa dividir a fração por esse número, pois os números naturais são divididos e colocados em uma vírgula privada quando a divisão da parte inteira termina.
Exemplos.
Executar divisão: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.
Solução.
Exemplo 1) 96,25: 5.
Dividimos por um “canto” da mesma forma que os números naturais dividem. Depois de anotarmos o número 2 (o número de décimos é o primeiro dígito após o ponto decimal no registro do dividendo 96, 2 5), coloque uma vírgula no quociente e continue a divisão.
Responda: 19,25.
Exemplo 2) 4,78: 4.
Responda: 1,195.
Exemplo 3) 183,06: 45.
Responda: 4,068.
Conclusão: ao dividir uma fração decimal por um número natural em privado coloque uma vírgula imediatamente após demolirmos o dígito no lugar de décimos do dividendo. Atenção: todos destacados números em vermelho nestes três exemplos pertencem à categoria décimos do dividendo.
II. Para dividir um decimal por 10, 100, 1000, etc., você precisa mover a vírgula para a esquerda por 1, 2, 3, etc. dígitos.
Exemplos.
Realizar divisão: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.
Solução.
§ 107. Adição de frações decimais.
A adição de decimais é feita da mesma forma que a adição de números inteiros. Vamos ver isso com exemplos.
1) 0,132 + 2,354. Vamos assinar os termos um sob o outro.
Aqui, da soma de 2 milésimos com 4 milésimos, foram obtidos 6 milésimos;
da adição de 3 centésimos com 5 centésimos, resultou em 8 centésimos;
de adicionar 1 décimo com 3 décimos -4 décimos e
de adicionar 0 inteiros com 2 inteiros - 2 inteiros.
2) 5,065 + 7,83.
Não há milésimos no segundo mandato, por isso é importante não cometer erros ao assinar os termos um do outro.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Aqui, somando milésimos, obtemos 21 milésimos; escrevemos 1 sob os milésimos e 2 adicionados aos centésimos, então na centésima casa temos os seguintes termos: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; em suma, eles dão 19 centésimos, assinamos 9 sob centésimos e 1 foi contado como décimos, etc.
Assim, ao somar frações decimais, deve-se observar a seguinte ordem: as frações são assinadas uma abaixo da outra de modo que em todos os termos os mesmos dígitos fiquem um abaixo do outro e todas as vírgulas fiquem na mesma coluna vertical; à direita das casas decimais de alguns termos, eles atribuem, pelo menos mentalmente, tal número de zeros que todos os termos após a vírgula têm o mesmo número de dígitos. Em seguida, a adição é realizada por dígitos, começando pelo lado direito, e na soma resultante eles colocam uma vírgula na mesma coluna vertical que está nesses termos.
§ 108. Subtração de frações decimais.
A subtração de decimais é feita da mesma forma que a subtração de números inteiros. Vamos mostrar isso com exemplos.
1) 9,87 - 7,32. Vamos assinar o subtraendo sob o minuendo para que as unidades do mesmo dígito fiquem uma abaixo da outra:
2) 16,29 - 4,75. Vamos assinar o subtraendo sob o minuendo, como no primeiro exemplo:
Para subtrair décimos, era preciso pegar uma unidade inteira de 6 e dividi-la em décimos.
3) 14.0213-5.350712. Vamos assinar o subtraendo sob o minuendo:
A subtração foi realizada da seguinte forma: como não podemos subtrair 2 milionésimos de 0, devemos nos referir ao dígito mais próximo à esquerda, ou seja, às centésimas de milésima, mas também há zero no lugar das centésimas de milésima, então tomamos 1 décimo de milésimo de 3 décimos de milésimo e dividimos em centésimos de milésimo, obtemos 10 centésimos de milésimo, dos quais 9 centésimos de milésimo são deixados na categoria de centésimos de milésimo, e dividimos 1 centésimo de milésimo em milionésimos, temos 10 milionésimos. Assim, nos três últimos algarismos, temos: milionésimos 10, centésimos de milésimos 9, dez milésimos 2. Para maior clareza e conveniência (não esquecer), esses números são escritos em cima dos algarismos fracionários correspondentes do reduzido. Agora podemos começar a subtrair. Subtraímos 2 milionésimos de 10 milionésimos, obtemos 8 milionésimos; subtrair 1 centésimo de milésimo de 9 centésimos de milésimo, obtemos 8 centésimos de milésimo, etc.
Assim, ao subtrair frações decimais, observa-se a seguinte ordem: o subtraendo é assinado sob o reduzido para que os mesmos dígitos fiquem um sob o outro e todas as vírgulas fiquem na mesma coluna vertical; à direita, eles atribuem, pelo menos mentalmente, na redução ou subtração tantos zeros para que tenham o mesmo número de dígitos, depois subtraem por dígitos, começando pelo lado direito, e na diferença resultante colocam uma vírgula no mesma coluna vertical em que está localizado em reduzido e subtraído.
§ 109. Multiplicação de frações decimais.
Considere alguns exemplos de multiplicação de frações decimais.
Para encontrar o produto desses números, podemos raciocinar da seguinte forma: se o fator for aumentado em 10 vezes, ambos os fatores serão inteiros e podemos multiplicá-los de acordo com as regras para multiplicar inteiros. Mas sabemos que quando um dos fatores é aumentado várias vezes, o produto aumenta na mesma proporção. Isso significa que o número que resulta da multiplicação de fatores inteiros, ou seja, 28 por 23, é 10 vezes maior que o produto verdadeiro e, para obter o produto verdadeiro, você precisa reduzir o produto encontrado em 10 vezes. Portanto, aqui você deve realizar uma multiplicação por 10 uma vez e uma divisão por 10 uma vez, mas a multiplicação e a divisão por 10 são realizadas movendo a vírgula para a direita e para a esquerda por um sinal. Portanto, você precisa fazer isso: no multiplicador, mova a vírgula para a direita em um sinal, a partir disso será igual a 23, então você precisa multiplicar os inteiros resultantes:
Este produto é 10 vezes maior que o verdadeiro. Portanto, deve ser reduzido em 10 vezes, para o qual movemos a vírgula um caractere para a esquerda. Assim, obtemos
28 2,3 = 64,4.
Para fins de verificação, você pode escrever uma fração decimal com um denominador e executar uma ação de acordo com a regra para multiplicar frações ordinárias, ou seja,
2) 12,27 0,021.
A diferença entre este exemplo e o anterior é que aqui ambos os fatores são representados por frações decimais. Mas aqui, no processo de multiplicação, não prestaremos atenção às vírgulas, ou seja, aumentaremos temporariamente o multiplicador em 100 vezes e o multiplicador em 1.000 vezes, o que aumentará o produto em 100.000 vezes. Assim, multiplicando 1227 por 21, temos:
1 227 21 = 25 767.
Considerando que o produto resultante é 100.000 vezes o produto verdadeiro, agora devemos reduzi-lo por um fator de 100.000 colocando uma vírgula corretamente nele, então temos:
32,27 0,021 = 0,25767.
Vamos checar:
Assim, para multiplicar duas frações decimais, basta, sem prestar atenção às vírgulas, multiplicá-las como números inteiros e no produto separar com uma vírgula do lado direito tantas casas decimais quantas havia no multiplicando e no o fator em conjunto.
No último exemplo, o resultado é um produto com cinco casas decimais. Se essa maior precisão não for necessária, o arredondamento da fração decimal é feito. Ao arredondar, deve-se usar a mesma regra que foi indicada para inteiros.
§ 110. Multiplicação por tabelas.
A multiplicação de decimais às vezes pode ser feita usando tabelas. Para isso, você pode, por exemplo, usar essas tabelas de multiplicação de números de dois dígitos, cuja descrição foi dada anteriormente.
1) Multiplique 53 por 1,5.
Vamos multiplicar 53 por 15. Na tabela, esse produto é igual a 795. Encontramos o produto de 53 por 15, mas nosso segundo fator foi 10 vezes menor, o que significa que o produto deve ser reduzido em 10 vezes, ou seja,
53 1,5 = 79,5.
2) Multiplique 5,3 por 4,7.
Primeiro, encontramos na tabela o produto de 53 por 47, será 2491. Mas como aumentamos o multiplicando e o multiplicador em um total de 100 vezes, então o produto resultante é 100 vezes maior do que deveria ser; então temos que reduzir este produto por um fator de 100:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Multiplique 0,53 por 7,4.
Primeiro encontramos na tabela o produto de 53 por 74; isso será 3.922. Mas como aumentamos o multiplicador em 100 vezes e o multiplicador em 10 vezes, o produto aumentou em 1.000 vezes; então agora temos que reduzi-lo por um fator de 1.000:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Divisão de decimais.
Vamos olhar para a divisão decimal nesta ordem:
1. Divisão de uma fração decimal por um número inteiro,
1. Divisão de uma fração decimal por um inteiro.
1) Divida 2,46 por 2.
Dividimos por 2 primeiros inteiros, depois décimos e finalmente centésimos.
2) Divida 32,46 por 3.
32,46: 3 = 10,82.
Dividimos 3 dezenas por 3, depois começamos a dividir 2 unidades por 3; como o número de unidades do dividendo (2) é menor que o divisor (3), tivemos que colocar 0 no quociente; além disso, para o restante demolimos 4 décimos e dividimos 24 décimos por 3; recebeu em privado 8 décimos e finalmente dividiu 6 centésimos.
3) Divida 1,2345 por 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Aqui, no quociente em primeiro lugar, resultou zero inteiro, já que um inteiro não é divisível por 5.
4) Divida 13,58 por 4.
A peculiaridade deste exemplo é que quando recebemos 9 centésimos em privado, então encontramos um resto igual a 2 centésimos, dividimos esse resto em milésimos, pegamos 20 milésimos e encerramos a divisão.
Regra. A divisão de uma fração decimal por um inteiro é feita da mesma forma que a divisão de inteiros, e os restos resultantes são convertidos em frações decimais, cada vez mais pequenas; a divisão continua até que o resto seja zero.
2. Divisão de uma fração decimal por uma fração decimal.
1) Divida 2,46 por 0,2.
Já sabemos como dividir uma fração decimal por um inteiro. Vamos pensar se este novo caso de divisão também pode ser reduzido ao anterior? Ao mesmo tempo, consideramos a propriedade notável do quociente, que consiste no fato de que ele permanece inalterado enquanto aumenta ou diminui o dividendo e o divisor pelo mesmo número de vezes. Faríamos facilmente a divisão dos números oferecidos a nós se o divisor fosse um número inteiro. Para fazer isso, basta aumentá-lo 10 vezes e, para obter o quociente correto, é necessário aumentar o dividendo pelo mesmo número de vezes, ou seja, 10 vezes. Então a divisão desses números será substituída pela divisão de tais números:
e não há necessidade de fazer quaisquer alterações em privado.
Vamos fazer esta divisão:
Então 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Divida 1,25 por 1,6.
Aumentamos o divisor (1,6) em 10 vezes; para que o quociente não mude, aumentamos o dividendo em 10 vezes; 12 inteiros não são divisíveis por 16, então escrevemos no quociente 0 e dividimos 125 décimos por 16, obtemos 7 décimos no quociente e o resto é 13. Dividimos 13 décimos em centésimos atribuindo zero e dividimos 130 centésimos por 16, etc. . Preste atenção ao seguinte:
a) quando inteiros não são obtidos no quociente, então zero inteiros são escritos em seu lugar;
b) quando, depois de levar o algarismo do dividendo ao resto, obtém-se um número que não é divisível pelo divisor, escreve-se zero no quociente;
c) quando, após a retirada do último dígito do dividendo, a divisão não terminar, então, atribuindo zeros aos restos, a divisão continua;
d) se o dividendo for um número inteiro, ao dividi-lo por uma fração decimal, seu aumento é realizado atribuindo-lhe zeros.
Assim, para dividir um número por uma fração decimal, você precisa descartar uma vírgula no divisor e, em seguida, aumentar o dividendo quantas vezes o divisor aumentou quando a vírgula foi colocada nele e, em seguida, realizar a divisão de acordo com a regra de dividir a fração decimal por um inteiro.
§ 112. Quociente aproximado.
No parágrafo anterior, consideramos a divisão de frações decimais, e em todos os exemplos que resolvemos, a divisão foi levada ao final, ou seja, obteve-se um quociente exato. No entanto, na maioria dos casos, o quociente exato não pode ser obtido, não importa o quanto estendamos a divisão. Aqui está um desses casos: Divida 53 por 101.
Já recebemos cinco dígitos no quociente, mas a divisão ainda não terminou e não há esperança de que ela termine, pois os números que conhecemos antes começam a aparecer no restante. Os números também se repetirão no quociente: obviamente, após o número 7, aparecerá o número 5, depois o 2, e assim por diante sem fim. Nesses casos, a divisão é interrompida e limitada aos primeiros dígitos do quociente. Este privado é chamado aproximado. Como realizar a divisão neste caso, mostraremos com exemplos.
Seja necessário dividir 25 por 3. É óbvio que o quociente exato, expresso como um inteiro ou fração decimal, não pode ser obtido de tal divisão. Portanto, vamos procurar um quociente aproximado:
25: 3 = 8 e resto 1
O quociente aproximado é 8; é, obviamente, menor que o quociente exato, porque há um resto de 1. Para obter o quociente exato, você precisa adicionar ao quociente aproximado encontrado, ou seja, a 8, a fração que resulta da divisão do resto , igual a 1, por 3; será uma fração 1/3. Isso significa que o quociente exato será expresso como um número misto 8 1/3. Como 1/3 é uma fração própria, ou seja, uma fração, menos de um, então, descartando-o, assumimos erro, que menos de um. Privado 8 vai quociente aproximado até um com uma desvantagem. Se pegarmos 9 em vez de 8, também permitiremos um erro menor que um, pois adicionaremos não uma unidade inteira, mas 2/3. Uma vontade tão privada quociente aproximado até um com excesso.
Vamos dar outro exemplo agora. Seja necessário dividir 27 por 8. Como aqui não obteremos um quociente exato expresso como um inteiro, procuraremos um quociente aproximado:
27: 8 = 3 e resto 3.
Aqui o erro é 3/8 , é menor que um, o que significa que o quociente aproximado (3) é encontrado até um com desvantagem. Continuamos a divisão: dividimos o restante de 3 em décimos, obtemos 30 décimos; Vamos dividi-los por 8.
Entramos em privado no local décimos 3 e no restante b décimos. Se nos limitarmos ao número 3,3 em particular e descartarmos o restante 6, permitiremos um erro menor que um décimo. Por quê? Porque o quociente exato seria obtido quando somamos a 3,3 o resultado da divisão de 6 décimos por 8; desta divisão seria 6/80, que é menos de um décimo. (Verifique!) Assim, se nos limitarmos a décimos no quociente, podemos dizer que encontramos o quociente preciso de um décimo(com desvantagem).
Vamos continuar a divisão para encontrar mais uma casa decimal. Para fazer isso, dividimos 6 décimos em centésimos e obtemos 60 centésimos; Vamos dividi-los por 8.
Em privado, em terceiro lugar, resultou 7 e nos restantes 4 centésimos; se os descartarmos, permitiremos um erro menor que um centésimo, porque 4 centésimos divididos por 8 é menor que um centésimo. Nesses casos, diz-se que o quociente foi encontrado. preciso de um centésimo(com desvantagem).
No exemplo que estamos considerando agora, você pode obter o quociente exato, expresso como uma fração decimal. Para isso, basta dividir o último resto, 4 centésimos, em milésimos e dividir por 8.
No entanto, na grande maioria dos casos, é impossível obter um quociente exato e é preciso limitar-se aos seus valores aproximados. Vamos agora considerar tal exemplo:
40: 7 = 5,71428571...
Os pontos no final do número indicam que a divisão não foi concluída, ou seja, a igualdade é aproximada. Normalmente a igualdade aproximada é escrita assim:
40: 7 = 5,71428571.
Tomamos o quociente com oito casas decimais. Mas se não for necessária tanta precisão, pode-se limitar-se à parte inteira do quociente, ou seja, o número 5 (mais precisamente, 6); para maior precisão, os décimos poderiam ser considerados e o quociente considerado igual a 5,7; se por alguma razão esta precisão for insuficiente, então podemos parar nos centésimos e tomar 5,71, etc. Vamos escrever os quocientes individuais e nomeá-los.
O primeiro quociente aproximado até um 6.
O segundo » » » para um décimo 5.7.
Terceiro » » » até um centésimo 5.71.
Quarto » » » até um milésimo de 5.714.
Assim, para encontrar um quociente aproximado com precisão de alguns, por exemplo, a 3ª casa decimal (ou seja, até um milésimo), a divisão é interrompida assim que esse sinal é encontrado. Neste caso, deve-se lembrar a regra estabelecida no § 40.
§ 113. Os problemas mais simples de juros.
Depois de estudar frações decimais, resolveremos mais alguns problemas de porcentagem.
Esses problemas são semelhantes aos que resolvemos no departamento de frações ordinárias; mas agora vamos escrever centésimos na forma de frações decimais, isto é, sem um denominador explicitamente designado.
Em primeiro lugar, você precisa poder alternar facilmente de uma fração comum para uma fração decimal com denominador 100. Para fazer isso, você precisa dividir o numerador pelo denominador:
A tabela abaixo mostra como um número com o símbolo % (porcentagem) é substituído por um decimal com denominador 100:
Vamos agora considerar alguns problemas.
1. Encontrar porcentagens de um determinado número.
Tarefa 1. Apenas 1.600 pessoas vivem em uma aldeia. O número de crianças em idade escolar é de 25% da população total. Quantas crianças em idade escolar existem nesta aldeia?
Neste problema, você precisa encontrar 25%, ou 0,25, de 1.600. O problema é resolvido multiplicando:
1.600 0,25 = 400 (crianças).
Portanto, 25% de 1.600 é 400.
Para uma compreensão clara desta tarefa, é útil recordar que para cada cem da população existem 25 crianças em idade escolar. Portanto, para encontrar o número de todas as crianças em idade escolar, você pode primeiro descobrir quantas centenas existem no número 1.600 (16) e depois multiplicar 25 pelo número de centenas (25 x 16 = 400). Dessa forma, você pode verificar a validade da solução.
Tarefa 2. Os bancos de poupança dão aos depositantes 2% da renda anualmente. Quanta renda por ano será recebida por um depositante que depositou: a) 200 rublos? b) 500 rublos? c) 750 rublos? d) 1000 rublos?
Nos quatro casos, para resolver o problema, será necessário calcular 0,02 dos valores indicados, ou seja, cada um desses números deverá ser multiplicado por 0,02. Vamos fazer isso:
a) 200 0,02 = 4 (rublos),
b) 500 0,02 = 10 (rublos),
c) 750 0,02 = 15 (rublos),
d) 1.000 0,02 = 20 (rublos).
Cada um desses casos pode ser verificado pelas seguintes considerações. As caixas econômicas dão aos depositantes 2% da renda, ou seja, 0,02 do valor colocado na poupança. Se a quantidade fosse 100 rublos, então 0,02 seria 2 rublos. Isso significa que cada cem traz ao depositante 2 rublos. renda. Portanto, em cada um dos casos considerados, basta descobrir quantas centenas existem em um determinado número e multiplicar 2 rublos por esse número de centenas. No exemplo a) centenas de 2, então
2 2 \u003d 4 (rublos).
No exemplo d) centenas são 10, o que significa
2 10 \u003d 20 (rublos).
2. Encontrar um número por sua porcentagem.
Tarefa 1. Na primavera, a escola formou 54 alunos, o que representa 6% do número total de alunos. Quantos alunos estavam na escola durante o último ano letivo?
Vamos primeiro esclarecer o significado deste problema. A escola formou 54 alunos, o que representa 6% do total de alunos, ou seja, 6 centésimos (0,06) de todos os alunos da escola. Isso significa que conhecemos a parte dos alunos expressa pelo número (54) e pela fração (0,06), e dessa fração devemos encontrar o número inteiro. Assim, diante de nós está um problema comum de encontrar um número por sua fração (§ 90 p. 6). Problemas deste tipo são resolvidos por divisão:
Isso significa que havia 900 alunos na escola.
É útil verificar esses problemas resolvendo o problema inverso, ou seja, depois de resolver o problema, você deve, pelo menos em sua mente, resolver o problema do primeiro tipo (encontrar a porcentagem de um determinado número): pegue o número encontrado ( 900) como dado e encontre a porcentagem indicada no problema resolvido a partir dele, a saber:
900 0,06 = 54.
Tarefa 2. A família gasta 780 rublos em comida durante o mês, o que representa 65% da renda mensal do pai. Determine sua renda mensal.
Esta tarefa tem o mesmo significado que a anterior. Dá parte dos ganhos mensais, expressos em rublos (780 rublos), e indica que essa parte é 65%, ou 0,65, do total de ganhos. E o desejado é todo o lucro:
780: 0,65 = 1 200.
Portanto, o lucro desejado é de 1200 rublos.
3. Encontrando a porcentagem de números.
Tarefa 1. A biblioteca da escola tem um total de 6.000 livros. Entre eles estão 1.200 livros sobre matemática. Que porcentagem de livros de matemática compõem o número total de livros na biblioteca?
Já consideramos (§97) problemas desse tipo e chegamos à conclusão de que, para calcular a porcentagem de dois números, você precisa encontrar a razão desses números e multiplicá-la por 100.
Em nossa tarefa, precisamos encontrar a porcentagem dos números 1.200 e 6.000.
Primeiro encontramos sua razão e, em seguida, multiplicamos por 100:
Assim, a porcentagem dos números 1.200 e 6.000 é 20. Em outras palavras, os livros de matemática representam 20% do número total de todos os livros.
Para verificar, resolvemos o problema inverso: encontre 20% de 6.000:
6 000 0,2 = 1 200.
Tarefa 2. A usina deve receber 200 toneladas de carvão. Já foram entregues 80 toneladas, que percentual de carvão já foi entregue na usina?
Este problema pergunta qual porcentagem um número (80) é de outro (200). A proporção desses números será 80/200. Vamos multiplicar por 100:
Isso significa que 40% do carvão foi entregue.
Encontre o primeiro dígito do quociente (o resultado da divisão). Para fazer isso, divida o primeiro dígito do dividendo pelo divisor. Escreva o resultado sob o divisor.
- Em nosso exemplo, o primeiro dígito do dividendo é 3. Divida 3 por 12. Como 3 é menor que 12, então o resultado da divisão será 0. Escreva 0 sob o divisor - este é o primeiro dígito do quociente.
Multiplique o resultado pelo divisor. Escreva o resultado da multiplicação sob o primeiro dígito do dividendo, pois este é o número que você acabou de dividir pelo divisor.
- Em nosso exemplo, 0 × 12 = 0, então escreva 0 sob 3.
Subtraia o resultado da multiplicação do primeiro dígito do dividendo. Escreva sua resposta em uma nova linha.
- Em nosso exemplo: 3 - 0 = 3. Escreva 3 diretamente abaixo de 0.
Desça o segundo dígito do dividendo. Para fazer isso, anote o próximo dígito do dividendo ao lado do resultado da subtração.
- Em nosso exemplo, o dividendo é 30. O segundo dígito do dividendo é 0. Mova-o para baixo escrevendo 0 próximo a 3 (o resultado da subtração). Você receberá o número 30.
Divida o resultado por um divisor. Você encontrará o segundo dígito do privado. Para fazer isso, divida o número na linha inferior pelo divisor.
- Em nosso exemplo, divida 30 por 12. 30 ÷ 12 = 2 mais algum resto (porque 12 x 2 = 24). Escreva 2 após 0 sob o divisor - este é o segundo dígito do quociente.
- Se você não conseguir encontrar um dígito adequado, itere sobre os dígitos até que o resultado da multiplicação de qualquer dígito por um divisor seja menor e mais próximo do número localizado por último na coluna. Em nosso exemplo, considere o número 3. Multiplique-o pelo divisor: 12 x 3 = 36. Como 36 é maior que 30, o número 3 não é adequado. Agora considere o número 2. 12 x 2 = 24. 24 é menor que 30, então o número 2 é a solução correta.
Repita os passos acima para encontrar o próximo dígito. O algoritmo descrito é usado em qualquer problema de divisão longa.
- Multiplique o segundo quociente pelo divisor: 2 x 12 = 24.
- Escreva o resultado da multiplicação (24) sob o último número na coluna (30).
- Subtraia o número menor do maior. Em nosso exemplo: 30 - 24 = 6. Escreva o resultado (6) em uma nova linha.
Se houver dígitos restantes no dividendo que possam ser movidos para baixo, continue o processo de cálculo. Caso contrário, prossiga para a próxima etapa.
- Em nosso exemplo, você desceu o último dígito do dividendo (0). Então vá para o próximo passo.
Se necessário, use um ponto decimal para expandir o dividendo. Se o dividendo for divisível pelo divisor, na última linha você obterá o número 0. Isso significa que o problema foi resolvido e a resposta (na forma de um número inteiro) é escrita sob o divisor. Mas se qualquer dígito diferente de 0 estiver na parte inferior da coluna, você precisará expandir o dividendo colocando um ponto decimal e atribuindo 0. Lembre-se de que isso não altera o valor do dividendo.
- No nosso exemplo, o número 6 está na última linha. Portanto, à direita de 30 (dividendo), escreva uma vírgula e depois 0. Coloque também uma vírgula após os dígitos do quociente encontrados, que você escreve sob o divisor (não escreva nada depois desta vírgula ainda!) .
Repita os passos acima para encontrar o próximo dígito. O principal é não esquecer de colocar um ponto decimal após o dividendo e após os dígitos encontrados do privado. O resto do processo é semelhante ao processo descrito acima.
- Em nosso exemplo, mova para baixo o 0 (que você escreveu após o ponto decimal). Você obterá o número 60. Agora divida este número pelo divisor: 60 ÷ 12 = 5. Escreva 5 após o 2 (e após o ponto decimal) abaixo do divisor. Este é o terceiro dígito do quociente. Portanto, a resposta final é 2,5 (o zero na frente do 2 pode ser ignorado).
Neste tutorial, veremos cada uma dessas operações uma por uma.
Conteúdo da lição
Adicionando decimais
Como sabemos, um decimal tem uma parte inteira e uma parte fracionária. Ao adicionar decimais, as partes inteiras e fracionárias são adicionadas separadamente.
Por exemplo, vamos adicionar os decimais 3.2 e 5.3. É mais conveniente adicionar frações decimais em uma coluna.
Primeiro, escrevemos essas duas frações em uma coluna, enquanto as partes inteiras devem estar sob as partes inteiras e as fracionárias sob as fracionárias. Na escola, esse requisito é chamado de "vírgula sob vírgula".
Vamos escrever as frações em uma coluna para que a vírgula fique abaixo da vírgula:
Começamos a adicionar as partes fracionárias: 2 + 3 \u003d 5. Escrevemos os cinco na parte fracionária de nossa resposta:
Agora somamos as partes inteiras: 3 + 5 = 8. Escrevemos o oito na parte inteira da nossa resposta:
Agora separamos a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, novamente seguimos a regra "vírgula sob vírgula":
Obteve a resposta 8,5. Então a expressão 3,2 + 5,3 é igual a 8,5
Na verdade, nem tudo é tão simples quanto parece à primeira vista. Aqui também há armadilhas, sobre as quais falaremos agora.
Casas em decimais
Decimais, como números comuns, têm seus próprios dígitos. Estes são décimos lugares, centésimos lugares, milésimos lugares. Nesse caso, os dígitos começam após o ponto decimal.
O primeiro dígito após a vírgula é responsável pela casa das décimas, o segundo dígito após a vírgula pela casa dos centésimos, o terceiro dígito após a vírgula pela casa dos milésimos.
Os dígitos decimais armazenam algumas informações úteis. Em particular, eles relatam quantos décimos, centésimos e milésimos estão em um decimal.
Por exemplo, considere o decimal 0,345
A posição onde o triplo está localizado é chamado de décimo lugar
A posição onde o quatro está localizado é chamado centésimos de lugar
A posição onde o cinco está localizado é chamado milésimos
Vejamos esta figura. Vemos que na categoria dos décimos há um três. Isso sugere que existem três décimos na fração decimal 0,345.
Se somarmos as frações, obtemos a fração decimal original 0,345
Pode-se ver que a princípio obtivemos a resposta, mas convertemos para uma fração decimal e obtivemos 0,345.
Ao adicionar frações decimais, os mesmos princípios e regras são seguidos ao adicionar números comuns. A adição de frações decimais ocorre por dígitos: décimos são adicionados a décimos, centésimos a centésimos, milésimos a milésimos.
Portanto, ao adicionar frações decimais, é necessário seguir a regra "vírgula sob vírgula". Uma vírgula sob uma vírgula fornece a mesma ordem em que os décimos são adicionados aos décimos, os centésimos aos centésimos, os milésimos aos milésimos.
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão 1,5 + 3,4
Em primeiro lugar, adicionamos as partes fracionárias 5 + 4 = 9. Escrevemos o nove na parte fracionária da nossa resposta:
Agora somamos as partes inteiras 1 + 3 = 4. Escrevemos os quatro na parte inteira da nossa resposta:
Agora separamos a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, observamos novamente a regra "vírgula sob vírgula":
Obteve a resposta 4.9. Então o valor da expressão 1,5 + 3,4 é 4,9
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão: 3,51 + 1,22
Escrevemos essa expressão em uma coluna, observando a regra "vírgula sob vírgula"
Em primeiro lugar, adicione a parte fracionária, ou seja, os centésimos 1+2=3. Escrevemos o triplo na centésima parte de nossa resposta:
Agora some décimos de 5+2=7. Escrevemos o sete na décima parte da nossa resposta:
Agora adicione as partes inteiras 3+1=4. Escrevemos os quatro em toda a parte da nossa resposta:
Separamos a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula, observando a regra “vírgula sob a vírgula”:
Obteve a resposta 4,73. Então o valor da expressão 3,51 + 1,22 é 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Tal como acontece com os números comuns, ao adicionar frações decimais, . Nesse caso, um dígito é escrito na resposta e o restante é transferido para o próximo dígito.
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 2,65 + 3,27
Escrevemos esta expressão em uma coluna:
Adicione centésimos de 5+7=12. O número 12 não caberá na centésima parte da nossa resposta. Portanto, na centésima parte, escrevemos o número 2 e transferimos a unidade para o próximo bit:
Agora somamos os décimos de 6+2=8 mais a unidade que obtivemos da operação anterior, obtemos 9. Escrevemos o número 9 no décimo de nossa resposta:
Agora some as partes inteiras 2+3=5. Escrevemos o número 5 na parte inteira da nossa resposta:
Obteve a resposta 5,92. Então o valor da expressão 2,65 + 3,27 é 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Exemplo 4 Encontre o valor da expressão 9,5 + 2,8
Escreva esta expressão em uma coluna
Adicionamos as partes fracionárias 5 + 8 = 13. O número 13 não caberá na parte fracionária de nossa resposta, então primeiro anotamos o número 3 e transferimos a unidade para o próximo dígito, ou melhor, transferimos para o inteiro papel:
Agora somamos as partes inteiras 9+2=11 mais a unidade que obtivemos da operação anterior, obtemos 12. Escrevemos o número 12 na parte inteira de nossa resposta:
Separe a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula:
Obteve a resposta 12.3. Então o valor da expressão 9,5 + 2,8 é 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Ao adicionar frações decimais, o número de dígitos após o ponto decimal em ambas as frações deve ser o mesmo. Se não houver dígitos suficientes, esses lugares na parte fracionária serão preenchidos com zeros.
Exemplo 5. Encontre o valor da expressão: 12,725 + 1,7
Antes de escrever esta expressão em uma coluna, vamos fazer com que o número de dígitos após o ponto decimal em ambas as frações seja o mesmo. A fração decimal 12,725 possui três dígitos após a vírgula, enquanto a fração 1,7 possui apenas um. Portanto, na fração 1,7 no final, você precisa adicionar dois zeros. Então obtemos a fração 1.700. Agora você pode escrever esta expressão em uma coluna e começar a calcular:
Adicione milésimos de 5+0=5. Escrevemos o número 5 na milésima parte de nossa resposta:
Adicione centésimos de 2+0=2. Escrevemos o número 2 na centésima parte de nossa resposta:
Adicione décimos de 7+7=14. O número 14 não caberá em um décimo da nossa resposta. Portanto, primeiro anotamos o número 4 e transferimos a unidade para o próximo bit:
Agora somamos as partes inteiras 12+1=13 mais a unidade que obtivemos da operação anterior, obtemos 14. Escrevemos o número 14 na parte inteira de nossa resposta:
Separe a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula:
Obteve a resposta 14.425. Então o valor da expressão 12,725+1,700 é 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Subtração de decimais
Ao subtrair frações decimais, você deve seguir as mesmas regras que ao adicionar: “uma vírgula sob uma vírgula” e “um número igual de dígitos após um ponto decimal”.
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão 2,5 − 2,2
Escrevemos esta expressão em uma coluna, observando a regra “vírgula sob vírgula”:
Calculamos a parte fracionária 5−2=3. Escrevemos o número 3 na décima parte de nossa resposta:
Calcule a parte inteira 2−2=0. Escrevemos zero na parte inteira de nossa resposta:
Separe a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula:
Obtivemos a resposta 0,3. Então o valor da expressão 2,5 − 2,2 é igual a 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão 7,353 - 3,1
Esta expressão tem um número diferente de dígitos após o ponto decimal. Na fração 7.353 há três dígitos após a vírgula e na fração 3.1 há apenas um. Isso significa que na fração 3.1, dois zeros devem ser adicionados no final para tornar o número de dígitos em ambas as frações iguais. Então temos 3.100.
Agora você pode escrever esta expressão em uma coluna e calculá-la:
Obteve a resposta 4.253. Portanto, o valor da expressão 7,353 − 3,1 é 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Tal como acontece com os números comuns, às vezes você terá que pedir emprestado um do bit adjacente se a subtração se tornar impossível.
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 3,46 - 2,39
Subtraia centésimos de 6−9. Do número 6 não subtraia o número 9. Portanto, você precisa tirar uma unidade do dígito adjacente. Tendo emprestado um do dígito vizinho, o número 6 se transforma no número 16. Agora podemos calcular os centésimos de 16−9=7. Escrevemos o sete na centésima parte da nossa resposta:
Agora subtraia décimos. Como pegamos uma unidade na categoria de décimos, o número que estava localizado ali diminuiu em uma unidade. Em outras palavras, o décimo lugar agora não é o número 4, mas o número 3. Vamos calcular os décimos de 3−3=0. Escrevemos zero na décima parte de nossa resposta:
Agora subtraia as partes inteiras 3−2=1. Escrevemos a unidade na parte inteira de nossa resposta:
Separe a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula:
Obteve a resposta 1.07. Portanto, o valor da expressão 3,46−2,39 é igual a 1,07
3,46−2,39=1,07
Exemplo 4. Encontre o valor da expressão 3−1,2
Este exemplo subtrai um decimal de um inteiro. Vamos escrever essa expressão em uma coluna para que a parte inteira da fração decimal 1,23 fique abaixo do número 3
Agora vamos fazer com que o número de dígitos após o ponto decimal seja o mesmo. Para fazer isso, após o número 3, coloque uma vírgula e adicione um zero:
Agora subtraia décimos: 0−2. Não subtraia o número 2 de zero. Portanto, você precisa tirar uma unidade do dígito adjacente. Pegando emprestado um do dígito adjacente, 0 se transforma no número 10. Agora você pode calcular os décimos de 10−2=8. Escrevemos o oito na décima parte da nossa resposta:
Agora subtraia as partes inteiras. Anteriormente, o número 3 estava localizado no número inteiro, mas pegamos emprestado uma unidade dele. Como resultado, ele se transformou no número 2. Portanto, subtraímos 1 de 2. 2−1=1. Escrevemos a unidade na parte inteira de nossa resposta:
Separe a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula:
Obteve a resposta 1.8. Então o valor da expressão 3−1,2 é 1,8
Multiplicação decimal
Multiplicar decimais é fácil e até divertido. Para multiplicar decimais, você precisa multiplicá-los como números regulares, ignorando as vírgulas.
Tendo recebido a resposta, é necessário separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após o ponto decimal em ambas as frações, contar o mesmo número de dígitos à direita na resposta e colocar uma vírgula.
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão 2,5 × 1,5
Multiplicamos essas frações decimais como números comuns, ignorando as vírgulas. Para ignorar as vírgulas, você pode imaginar temporariamente que elas estão completamente ausentes:
Obtivemos 375. Neste número, é necessário separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após o ponto decimal em frações de 2,5 e 1,5. Na primeira fração há um dígito após o ponto decimal, na segunda fração também há um. Um total de dois números.
Voltamos ao número 375 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar dois dígitos da direita e colocar uma vírgula:
Obteve a resposta 3,75. Portanto, o valor da expressão 2,5 × 1,5 é 3,75
2,5 x 1,5 = 3,75
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão 12,85 × 2,7
Vamos multiplicar esses decimais, ignorando as vírgulas:
Temos 34695. Neste número, você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa calcular o número de dígitos após o ponto decimal em frações de 12,85 e 2,7. Na fração 12,85 há dois dígitos após o ponto decimal, na fração 2,7 há um dígito - um total de três dígitos.
Voltamos ao número 34695 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar três dígitos da direita e colocar uma vírgula:
Obteve a resposta 34.695. Portanto, o valor da expressão 12,85 × 2,7 é 34,695
12,85 x 2,7 = 34,695
Multiplicando um decimal por um número normal
Às vezes, há situações em que você precisa multiplicar uma fração decimal por um número regular.
Para multiplicar um número decimal e um número comum, você precisa multiplicá-los, independentemente da vírgula no decimal. Tendo recebido a resposta, é necessário separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após o ponto decimal na fração decimal e, na resposta, contar o mesmo número de dígitos à direita e colocar uma vírgula.
Por exemplo, multiplique 2,54 por 2
Multiplicamos a fração decimal 2,54 pelo número usual 2, ignorando a vírgula:
Temos o número 508. Neste número, você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após o ponto decimal na fração 2,54. A fração 2,54 tem dois dígitos após o ponto decimal.
Voltamos ao número 508 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar dois dígitos da direita e colocar uma vírgula:
Obteve a resposta 5.08. Então o valor da expressão 2,54 × 2 é 5,08
2,54 x 2 = 5,08
Multiplicando decimais por 10, 100, 1000
Multiplicar decimais por 10, 100 ou 1000 é feito da mesma forma que multiplicar decimais por números regulares. É necessário realizar a multiplicação, ignorando a vírgula na fração decimal, depois na resposta, separe a parte inteira da parte fracionária, contando o mesmo número de dígitos à direita que havia dígitos após o ponto decimal no decimal fração.
Por exemplo, multiplique 2,88 por 10
Vamos multiplicar a fração decimal 2,88 por 10, ignorando a vírgula na fração decimal:
Temos 2880. Neste número, você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa contar o número de dígitos após o ponto decimal na fração 2,88. Vemos que na fração 2,88 há dois dígitos após a vírgula.
Voltamos ao número 2880 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar dois dígitos da direita e colocar uma vírgula:
Obteve a resposta 28,80. Descartamos o último zero - obtemos 28,8. Portanto, o valor da expressão 2,88 × 10 é 28,8
2,88 x 10 = 28,8
Existe uma segunda maneira de multiplicar frações decimais por 10, 100, 1000. Esse método é muito mais simples e conveniente. Consiste no fato de que a vírgula na fração decimal se move para a direita em tantos dígitos quantos os zeros no multiplicador.
Por exemplo, vamos resolver o exemplo anterior 2,88×10 dessa maneira. Sem fazer nenhum cálculo, olhamos imediatamente para o fator 10. Estamos interessados em quantos zeros há nele. Vemos que tem um zero. Agora, na fração 2,88, movemos o ponto decimal para a direita em um dígito, obtemos 28,8.
2,88 x 10 = 28,8
Vamos tentar multiplicar 2,88 por 100. Imediatamente olhamos para o fator 100. Estamos interessados em quantos zeros existem nele. Vemos que tem dois zeros. Agora, na fração 2,88, movemos o ponto decimal para a direita em dois dígitos, obtemos 288
2,88 x 100 = 288
Vamos tentar multiplicar 2,88 por 1000. Imediatamente olhamos para o fator 1000. Estamos interessados em quantos zeros existem nele. Vemos que tem três zeros. Agora, na fração 2,88, movemos o ponto decimal para a direita em três dígitos. O terceiro dígito não está lá, então adicionamos outro zero. Como resultado, obtemos 2880.
2,88 x 1000 = 2880
Multiplicando decimais por 0,1 0,01 e 0,001
Multiplicar decimais por 0,1, 0,01 e 0,001 funciona da mesma forma que multiplicar um decimal por um decimal. É necessário multiplicar frações como números comuns e colocar uma vírgula na resposta, contando tantos dígitos à direita quantos dígitos após o ponto decimal em ambas as frações.
Por exemplo, multiplique 3,25 por 0,1
Multiplicamos essas frações como números comuns, ignorando as vírgulas:
Temos 325. Neste número, você precisa separar a parte inteira da parte fracionária com uma vírgula. Para fazer isso, você precisa calcular o número de dígitos após o ponto decimal em frações de 3,25 e 0,1. Na fração 3,25 há dois dígitos após o ponto decimal, na fração 0,1 há um dígito. Um total de três números.
Voltamos ao número 325 e começamos a nos mover da direita para a esquerda. Precisamos contar três dígitos à direita e colocar uma vírgula. Depois de contar três dígitos, descobrimos que os números acabaram. Nesse caso, você precisa adicionar um zero e colocar uma vírgula:
Obtivemos a resposta 0,325. Portanto, o valor da expressão 3,25 × 0,1 é 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Existe uma segunda maneira de multiplicar decimais por 0,1, 0,01 e 0,001. Este método é muito mais fácil e conveniente. Consiste no fato de que a vírgula na fração decimal se move para a esquerda em tantos dígitos quantos os zeros no multiplicador.
Por exemplo, vamos resolver o exemplo anterior 3,25 × 0,1 dessa maneira. Sem fazer nenhum cálculo, olhamos imediatamente para o fator 0,1. Estamos interessados em quantos zeros estão nele. Vemos que tem um zero. Agora, na fração 3,25, movemos o ponto decimal para a esquerda em um dígito. Movendo a vírgula um dígito para a esquerda, vemos que não há mais dígitos antes dos três. Neste caso, adicione um zero e coloque uma vírgula. Como resultado, obtemos 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Vamos tentar multiplicar 3,25 por 0,01. Imediatamente olhe para o multiplicador de 0,01. Estamos interessados em quantos zeros estão nele. Vemos que tem dois zeros. Agora, na fração 3,25, movemos a vírgula para a esquerda em dois dígitos, obtemos 0,0325
3,25 x 0,01 = 0,0325
Vamos tentar multiplicar 3,25 por 0,001. Imediatamente olhe para o multiplicador de 0,001. Estamos interessados em quantos zeros estão nele. Vemos que tem três zeros. Agora, na fração 3,25, movemos o ponto decimal para a esquerda em três dígitos, obtemos 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Não confunda multiplicar decimais por 0,1, 0,001 e 0,001 com multiplicar por 10, 100, 1000. Um erro comum que a maioria das pessoas comete.
Ao multiplicar por 10, 100, 1000, a vírgula é movida para a direita por tantos dígitos quantos os zeros no multiplicador.
E ao multiplicar por 0,1, 0,01 e 0,001, a vírgula é movida para a esquerda por tantos dígitos quantos os zeros no multiplicador.
Se no início for difícil de lembrar, você pode usar o primeiro método, no qual a multiplicação é realizada como com números comuns. Na resposta, você precisará separar a parte inteira da parte fracionária contando tantos dígitos à direita quantos dígitos após o ponto decimal em ambas as frações.
Dividindo um número menor por um maior. Nível avançado.
Em uma das lições anteriores, dissemos que ao dividir um número menor por um maior, obtém-se uma fração, em cujo numerador está o dividendo e no denominador está o divisor.
Por exemplo, para dividir uma maçã em duas, você precisa escrever 1 (uma maçã) no numerador e escrever 2 (dois amigos) no denominador. O resultado é uma fração. Assim, cada amigo receberá uma maçã. Em outras palavras, meia maçã. Uma fração é a resposta para um problema como dividir uma maçã entre duas
Acontece que você pode resolver esse problema ainda mais se dividir 1 por 2. Afinal, uma barra fracionária em qualquer fração significa divisão, o que significa que essa divisão também é permitida em uma fração. Mas como? Estamos acostumados ao fato de que o dividendo é sempre maior que o divisor. E aqui, pelo contrário, o dividendo é menor que o divisor.
Tudo ficará claro se lembrarmos que uma fração significa esmagar, dividir, dividir. Isso significa que a unidade pode ser dividida em quantas partes você quiser, e não apenas em duas partes.
Ao dividir um número menor por um maior, obtém-se uma fração decimal, na qual a parte inteira será 0 (zero). A parte fracionária pode ser qualquer coisa.
Então, vamos dividir 1 por 2. Vamos resolver este exemplo com um canto:
Um não pode ser dividido em dois assim. Se você fizer uma pergunta "quantos dois são em um", então a resposta será 0. Portanto, em privado, escrevemos 0 e colocamos uma vírgula:
Agora, como de costume, multiplicamos o quociente pelo divisor para extrair o resto:
Chegou o momento em que a unidade pode ser dividida em duas partes. Para fazer isso, adicione outro zero à direita do recebido:
Temos 10. Dividimos 10 por 2, obtemos 5. Escrevemos os cinco na parte fracionária da nossa resposta:
Agora tiramos o último resto para completar o cálculo. Multiplicando 5 por 2, obtemos 10
Obtivemos a resposta 0,5. Então a fração é 0,5
Meia maçã também pode ser
escrita usando a fração decimal 0,5. Se adicionarmos essas duas metades (0,5 e 0,5), obteremos novamente a maçã inteira original:
Este ponto também pode ser entendido se imaginarmos como 1 cm é dividido em duas partes. Se você dividir 1 centímetro em 2 partes, obterá 0,5 cm
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão 4:5
Quantos cincos existem em quatro? De jeito nenhum. Escrevemos em private 0 e colocamos uma vírgula:
Multiplicamos 0 por 5, obtemos 0. Escrevemos zero sob o quatro. Subtraia imediatamente este zero do dividendo:
Agora vamos começar a dividir (dividir) os quatro em 5 partes. Para fazer isso, à direita de 4, somamos zero e dividimos 40 por 5, obtemos 8. Escrevemos o oito em privado.
Completamos o exemplo multiplicando 8 por 5 e obtemos 40:
Obtivemos a resposta 0,8. Então o valor da expressão 4:5 é 0,8
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 5: 125
Quantos números 125 existem em cinco? De jeito nenhum. Escrevemos 0 em privado e colocamos uma vírgula:
Multiplicamos 0 por 5, obtemos 0. Escrevemos 0 sob o cinco. Imediatamente subtraia dos cinco 0
Agora vamos começar a dividir (dividir) os cinco em 125 partes. Para fazer isso, à direita desses cinco, escrevemos zero:
Divida 50 por 125. Quantos números 125 existem em 50? De jeito nenhum. Então, no quociente, escrevemos novamente 0
Multiplicamos 0 por 125, obtemos 0. Escrevemos esse zero sob 50. Subtraia imediatamente 0 de 50
Agora dividimos o número 50 em 125 partes. Para fazer isso, à direita de 50, escrevemos outro zero:
Divida 500 por 125. Quantos números são 125 no número 500. No número 500 há quatro números 125. Escrevemos os quatro em privado:
Completamos o exemplo multiplicando 4 por 125 e obtemos 500
Obtivemos a resposta 0,04. Então o valor da expressão 5:125 é 0,04
Divisão de números sem resto
Então, vamos colocar uma vírgula no quociente após a unidade, indicando assim que a divisão das partes inteiras acabou e passamos para a parte fracionária:
Adicione zero ao restante 4
Agora dividimos 40 por 5, obtemos 8. Escrevemos o oito em privado:
40−40=0. Recebeu 0 no restante. Assim, a divisão está completamente concluída. Dividindo 9 por 5 resulta em um decimal de 1,8:
9: 5 = 1,8
Exemplo 2. Divida 84 por 5 sem deixar resto
Primeiro dividimos 84 por 5 como de costume com um resto:
Recebido no privado 16 e mais 4 no saldo. Agora dividimos este resto por 5. Colocamos uma vírgula no privado e adicionamos 0 ao resto 4
Agora dividimos 40 por 5, obtemos 8. Escrevemos o oito no quociente após a vírgula:
e complete o exemplo verificando se ainda há resto:
Dividindo um decimal por um número regular
Uma fração decimal, como sabemos, consiste em um inteiro e uma parte fracionária. Ao dividir uma fração decimal por um número regular, primeiro você precisa:
- divida a parte inteira da fração decimal por este número;
- depois que a parte inteira é dividida, você precisa colocar imediatamente uma vírgula na parte privada e continuar o cálculo, como na divisão ordinária.
Por exemplo, vamos dividir 4,8 por 2
Vamos escrever este exemplo como um canto:
Agora vamos dividir a parte inteira por 2. Quatro dividido por dois é dois. Escrevemos o deuce em privado e imediatamente colocamos uma vírgula:
Agora multiplicamos o quociente pelo divisor e vemos se há resto da divisão:
4−4=0. O restante é zero. Ainda não escrevemos zero, pois a solução não está completa. Então continuamos a calcular, como na divisão ordinária. Pegue 8 e divida por 2
8: 2 = 4. Escrevemos o quatro no quociente e imediatamente o multiplicamos pelo divisor:
Obteve a resposta 2.4. Valor da expressão 4,8: 2 é igual a 2,4
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão 8,43:3
Dividimos 8 por 3, obtemos 2. Imediatamente coloque uma vírgula após os dois:
Agora multiplicamos o quociente pelo divisor 2 × 3 = 6. Escrevemos o seis sob o oito e encontramos o resto:
Dividimos 24 por 3, obtemos 8. Escrevemos o oito em privado. Imediatamente multiplicamos pelo divisor para encontrar o resto da divisão:
24−24=0. O restante é zero. Zero ainda não está registrado. Pegue os três últimos do dividendo e divida por 3, obtemos 1. Imediatamente multiplique 1 por 3 para completar este exemplo:
Obteve a resposta 2,81. Então o valor da expressão 8,43:3 é igual a 2,81
Dividindo um decimal por um decimal
Para dividir uma fração decimal em uma fração decimal, no dividendo e no divisor, mova a vírgula para a direita pelo mesmo número de dígitos que há após o ponto decimal no divisor e, em seguida, divida por um número regular.
Por exemplo, divida 5,95 por 1,7
Vamos escrever esta expressão como um canto
Agora, no dividendo e no divisor, movemos a vírgula para a direita pelo mesmo número de dígitos que há após a vírgula no divisor. O divisor tem um dígito após o ponto decimal. Portanto, devemos mover a vírgula para a direita em um dígito no dividendo e no divisor. Transferindo:
Depois de mover o ponto decimal para a direita em um dígito, a fração decimal 5,95 se transformou em uma fração 59,5. E a fração decimal 1,7, depois de mover a vírgula um dígito para a direita, se transformou no número usual 17. E já sabemos como dividir a fração decimal pelo número usual. Cálculo adicional não é difícil:
A vírgula é movida para a direita para facilitar a divisão. Isso é permitido devido ao fato de que ao multiplicar ou dividir o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o quociente não muda. O que isto significa?
Esta é uma das características interessantes da divisão. É a chamada propriedade privada. Considere a expressão 9: 3 = 3. Se nesta expressão o dividendo e o divisor forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número, então o quociente 3 não mudará.
Vamos multiplicar o dividendo e o divisor por 2 e ver o que acontece:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Como pode ser visto no exemplo, o quociente não mudou.
A mesma coisa acontece quando carregamos uma vírgula no dividendo e no divisor. No exemplo anterior, onde dividimos 5,91 por 1,7, movemos a vírgula um dígito para a direita no dividendo e no divisor. Após mover a vírgula, a fração 5,91 foi convertida para a fração 59,1 e a fração 1,7 foi convertida para o número usual 17.
Na verdade, dentro desse processo, ocorreu a multiplicação por 10. Veja como ficou:
5,91 × 10 = 59,1
Portanto, o número de dígitos após o ponto decimal no divisor depende do valor pelo qual o dividendo e o divisor serão multiplicados. Em outras palavras, o número de dígitos após o ponto decimal no divisor determinará quantos dígitos no dividendo e no divisor a vírgula será movida para a direita.
Divisão decimal por 10, 100, 1000
Dividir um decimal por 10, 100 ou 1000 é feito da mesma maneira que . Por exemplo, vamos dividir 2,1 por 10. Vamos resolver este exemplo com um canto:
Mas há também uma segunda maneira. É mais leve. A essência desse método é que a vírgula no dividendo é movida para a esquerda por tantos dígitos quantos os zeros no divisor.
Vamos resolver o exemplo anterior desta forma. 2.1: 10. Observamos o divisor. Estamos interessados em quantos zeros estão nele. Vemos que há um zero. Portanto, no divisível 2.1, você precisa mover a vírgula para a esquerda em um dígito. Movemos a vírgula para a esquerda em um dígito e vemos que não há mais dígitos restantes. Nesse caso, adicionamos mais um zero antes do número. Como resultado, obtemos 0,21
Vamos tentar dividir 2,1 por 100. Há dois zeros no número 100. Portanto, no divisível 2.1, você precisa mover a vírgula para a esquerda em dois dígitos:
2,1: 100 = 0,021
Vamos tentar dividir 2,1 por 1000. Existem três zeros no número 1000. Portanto, no divisível 2.1, você precisa mover a vírgula para a esquerda em três dígitos:
2,1: 1000 = 0,0021
Divisão decimal por 0,1, 0,01 e 0,001
Dividir um decimal por 0,1, 0,01 e 0,001 é feito da mesma maneira que . No dividendo e no divisor, você precisa mover a vírgula para a direita em tantos dígitos quantos houver após o ponto decimal no divisor.
Por exemplo, vamos dividir 6,3 por 0,1. Em primeiro lugar, movemos as vírgulas no dividendo e no divisor para a direita pelo mesmo número de dígitos que existem após o ponto decimal no divisor. O divisor tem um dígito após o ponto decimal. Então, movemos as vírgulas no dividendo e no divisor para a direita em um dígito.
Depois de mover o ponto decimal para a direita em um dígito, a fração decimal 6,3 se transforma no número usual 63 e a fração decimal 0,1, depois de mover o ponto decimal em um dígito para a direita, se transforma em um. E dividir 63 por 1 é muito simples:
Então o valor da expressão 6,3: 0,1 é igual a 63
Mas há também uma segunda maneira. É mais leve. A essência desse método é que a vírgula no dividendo é transferida para a direita por tantos dígitos quantos os zeros no divisor.
Vamos resolver o exemplo anterior desta forma. 6.3:0.1. Vamos olhar para o divisor. Estamos interessados em quantos zeros estão nele. Vemos que há um zero. Portanto, no divisível 6.3, você precisa mover a vírgula para a direita em um dígito. Movemos a vírgula para a direita em um dígito e obtemos 63
Vamos tentar dividir 6,3 por 0,01. O divisor 0,01 tem dois zeros. Portanto, no divisível 6.3, você precisa mover a vírgula para a direita em dois dígitos. Mas no dividendo há apenas um dígito após o ponto decimal. Neste caso, mais um zero deve ser adicionado ao final. Como resultado, obtemos 630
Vamos tentar dividir 6,3 por 0,001. O divisor de 0,001 tem três zeros. Portanto, no divisível 6.3, você precisa mover a vírgula para a direita em três dígitos:
6,3: 0,001 = 6300
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