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) = 200 200 = 1 6= Pr(E) = 4 5 Exemplo 3.10 Sejam A e B eventos independentes em um espaço amostral Ω. Prove que os seguintes eventos também são independentes: 1. A e B 2. A e B Solução: 1. Temos que Pr(A ∩B) = Pr(B −A) = Pr(B)− Pr(A ∩B) Como A e B são independentes, Pr(A ∩B) = Pr(A) Pr(B). Logo, Pr(A ∩B) = Pr(B)− Pr(A) Pr(B) = Pr(B) [1− Pr(A)] = Pr(B) Pr(A) Logo, os eventos A e B são independentes. 2. Pela lei de De Morgan e pela lei do complementar, temos que Pr(A ∩B) = Pr(A ∪B) = 1− Pr(A ∪B) = 1− Pr(A)− Pr(B) + Pr(A ∩B) Como A e B são independentes, Pr(A ∩B) = Pr(A) Pr(B). Logo, Pr(A ∩B) = 1− Pr(A)− Pr(B) + Pr(A) Pr(B) = [1− Pr(A)]− Pr(B) [1− Pr(A)] = [1− Pr(A)] [1− Pr(B)] = Pr(A) Pr(B) Logo, A e B são independentes. CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 65 3.6.2 Exercícios 3.9 Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω tais que Pr(A) = 1 5 , Pr(B) = p e Pr(A∪B) = 1 2 . Determine o valor de p para que A e B sejam independentes. 3.10 Volte ao Exercício 3.4 da Seção 3.2. Verifique se os eventos considerados são independentes. 3.11 Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω tais que Pr(A) > 0 e Pr(B) > 0. 1. Mostre que se A e B são independentes, então A e B não podem ser mutuamente exclusivos. 2. Mostre que se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B não podem ser independentes. 3.7 Exercícios Complementares 3.12 Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que Pr(A) = 0, 3; Pr(B) = 0, 7 e Pr(A ∩B) = 0, 21. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta. 1. A e B são mutuamente exclusivos; 2. A e B são independentes; 3. A e B são independentes; 4. A e B são mutuamente exclusivos; 5. A e A são independentes. 3.13 Dois dados equilibrados são lançados. 1. Calcule a probabilidade de sair 6 em pelo menos um dado. 2. Sabendo-se que saíram faces diferentes nos dois dados, determine a probabilidade de sair 6 em pelo menos um dado. 3. Os eventos “seis em pelo menos um dado” e “faces diferentes nos dois dados” são indepen- dentes? 3.14 Uma sala possui três soquetes para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão queimadas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso, colocando-se as mesmas nos três bocais. Calcular a probabilidade de que: 1. pelo menos uma lâmpada acenda; 2. todas as lâmpadas acendam. CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 66 3.15 O Ministério da Economia da Espanha acredita que a probabilidade da inflação ficar abaixo de 3% este ano é de 0,20; entre 3% e 4% é de 0,45 e acima de 4% é de 0,35. O Ministério acredita que, com inflação abaixo de 3%, a probabilidade de se criar mais 200.000 empregos é de 0,6, diminuindo essa probabilidade para 0,3 caso a inflação fique entre 3% e 4%; no entanto, com inflação acima de 4%, isso é totalmente impossível. Qual é a probabilidade de se criarem 200.000 empregos nesse ano? 3.16 Na urna I há 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Na urna II há 3 bolas vermelhas e 5 brancas. Lança-se um dado equilibrado. Se sair 3 ou 6, escolhe-se uma bola da urna I; caso contrário, escolhe-se uma bola da urna II. Calcule a probabilidade de 1. sair uma bola vermelha; 2. sair uma bola branca; 3. sair uma bola azul. 3.17 Joana quer enviar uma carta a Camila. A probabilidade de que Joana escreva a carta é 8 10 . A probabilidade de que o correio não a perca é 9 10 . A probabilidade de que o carteiro a entregue é também 9 10 . 1. Construa o diagrama de árvore representando o espaço amostral deste problema. 2. Calcule a probabilidade de Camila não receber a carta. 3.18 Sejam A e B dois eventos tais que Pr(A) = 0, 4 e Pr(A ∪ B) = 0, 7. Seja Pr(B) = p. Determine o valor de p para que 1. A e B sejam mutuamente exclusivos; 2. A e B sejam independentes. 3.19 Sejam A e B eventos possíveis de um mesmo espaço amostral Ω. Se P (A|B) = 1 verifique a veracidade das seguintes afirmativas, justificando sua resposta. 1. A e B são independentes. 2. A e B são mutuamente exclusivos. 3.20 Sejam A, B, C eventos de um mesmo espaço amostral. Sabe-se que (i) B é um subconjunto de A; (ii) A e C são independentes e (iii) B e C são mutuamente exclusivos. A probabilidade do complementar da união dos eventos A e C é 0,48; a probabilidade da união dos eventos B e C é 0,3 e a probabilidade do evento C é o dobro da probabilidade do evento B. Calcule a probabilidade da união de A e B. 3.21 Uma comissão de dois estudantes deve ser sorteada de um grupo de 5 alunas e 3 alunos. Sejam os eventos: M1 = “primeiro estudante sorteado é mulher” M2 = “segundo estudante sorteado é mulher” CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 67 1. Construa um diagrama de árvore que represente o espaço amostral deste experimento, indi- cando as probabilidades. 2. Calcule Pr(M1) e Pr(M2). 3. Verifique se M1 e M2 são independentes. 3.22 Em um campeonato de natação, estão competindo três estudantes: Alberto, Bosco e Carlos. Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de ganhar, que é o dobro da de Carlos ganhar. 1. Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição. 2. Que hipótese você fez para resolver essa questão? Essa hipótese é razoável? 3.23 Solicita-se a dois estudantes, Maria e Pedro, que resolvam determinado problema. Eles trabalham na solução do mesmo independentemente, e têm, respectivamente, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolvê-lo. 1. Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema? 2. Qual é a probabilidade do problema ser resolvido? 3. Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro? 3.24 Joga-se um dado duas vezes. Considere os seguintes eventos: A = “ resultado do primeiro lançamento é par” e B = “soma dos resultados é par”. A e B são independentes? Justifique. 3.25 Um aluno responde a uma questão de múltipla escolha com 4 alternativas, com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de 30%. Se ele não sabe a resposta, existe a possibilidade de ele acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por “cola”. Qual é a probabilidade de ele acertar a questão? Capítulo 4 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Neste capítulo, você estudará dois importantes teoremas de probabilidade e verá suas aplicações em diversas situações envolvendo a tomada de decisão. Esses teoremas, conhecidos como teorema da probabilidade total e teorema de Bayes, resultam diretamente da definição de probabilidade condicional e das propriedades vistas para a probabilidade. A apresentação desses teoremas será feita inicialmente através de exemplos, para que você compreenda bem o contexto de sua aplicação. Ao final, será apresentada a formulação geral dos teoremas. Exemplo 4.1 Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35% da produção e os 65% restantes vêm da máquina 2. A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estima- se em 5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em 2,5% a proporção de defeituosas produzidas pela máquina 2. As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual máquina a produziu. 1. Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica? 2. Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina 2? Solução: 1. Na Figura 4.1 representa-se a situação descrita no exemplo. Nosso experimento aleatório é o sorteio de uma peça produzida por essa fábrica e nosso espaço amostral, representado pelo retângulo, é o conjunto de todas as peças produzidas