Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil
Geometria
Pir�mides
Daniela Harmuch e Ulysses Sodr�
Material desta p�gina
- 1 O conceito de pir�mide
- 2 Elementos de uma pir�mide
- 3 Classificando pir�mides pelo n�mero de lados da base
- 4 Pir�mide Regular reta
- 5 �rea Lateral de uma pir�mide
- 6 �rea total de uma pir�mide
- 7 Volume de uma Pir�mide
- 8 Se��o Transversal de uma pir�mide
1 O conceito de pir�mide
Consideremos um pol�gono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto \(V\) localizado fora desse plano. Uma pir�mide � a reuni�o de todos os segmentos que t�m uma extremidade em \(P\) e a outra num ponto qualquer do pol�gono. O ponto \(V\) recebe o nome de v�rtice da pir�mide.
Exemplo: As pir�mides do Egito, tamb�m eram utilizadas para sepultar fara�s, bem como as pir�mides no M�xico e nos Andes, que serviam para finalidades de adora��o aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos ind�genas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.
2 Elementos de uma pir�mide
Em uma pir�mide, podemos identificar v�rios elementos:
- Base da pir�mide � a regi�o plana poligonal sobre a qual se apoia a pir�mide.
- V�rtice da pir�mide � o ponto isolado \(P\) mais distante da base da pir�mide.
- Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto �, quando a regi�o poligonal � sim�trica ou regular, o eixo da pir�mide � a reta que passa pelo v�rtice e pelo centro da base.
- Altura � a dist�ncia do v�rtice da pir�mide ao plano da base.
- Faces laterais s�o regi�es planas triangulares que passam pelo v�rtice da pir�mide e por dois v�rtices consecutivos da base.
- Arestas Laterais S�o segmentos que t�m um extremo no v�rtice da pir�mide e outro extremo num v�rtice do pol�gono situado no plano da base.
- Ap�tema � a altura de cada face lateral.
- Superf�cie Lateral � a superf�cie poli�drica formada por todas as faces laterais.
- Aresta da base � qualquer um dos lados do pol�gono da base.
3 Classificando pir�mides pelo n�mero de lados da base
4 Pir�mide Regular reta
Pir�mide regular reta � aquela que tem uma base poligonal regular e a proje��o ortogonal do v�rtice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.
- \(R\) � o raio do circulo circunscrito,
- \(r\) � o raio do c�rculo inscrito,
- \(l\) � a aresta da base,
- \(ap\) � o ap�tema de uma face lateral,
- \(h\) � a altura da pir�mide,
- \(al\) � a aresta lateral, e
- as faces laterais s�o tri�ngulos is�sceles congruentes.
5 �rea Lateral de uma pir�mide
�s vezes podemos construir f�rmulas para obter as �reas das superf�cies que envolvem um determinado s�lido. Tal processo � conhecido como a planifica��o desse s�lido. Isto pode ser realizado se tomarmos o s�lido de forma que a sua superf�cie externa seja feita de papel�o ou algum outro material.
No caso da pir�mide, a ideia � tomar uma tesoura e cortar (o papel�o d)a pir�mide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regi�es obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regi�es planas obtidas s�o congruentes �s faces laterais e tamb�m � base da pir�mide.
Considerando uma pir�mide regular cuja base tem \(n\) lados e indicando por \(A(face)\) a �rea de uma face lateral da pir�mide, ent�o a soma das �reas das faces laterais recebe o nome de �rea lateral da pir�mide e pode ser obtida por:
\[A(lat) = n\;A(face)\]
Exemplo: Seja a pir�mide quadrangular regular que est� planificada na figura anterior, cuja aresta da base mede \(6\operatorname{cm}\) e o ap�tema mede \(4\operatorname{cm}\).
Como \(A(lat)=n\;A(face)\) e como a pir�mide � quadrangular temos \(n=4\) tri�ngulos is�sceles, a �rea da face lateral � igual � �rea de um dos tri�ngulos, assim:
\[\begin{align} A(face) &= \frac{b\;h}{2} = \frac{6{\times}4}{2} = 12 \\ A(lat) &= 4(12) = 48\operatorname{cm}^2 \end{align}\]
Exemplo: A aresta da base de uma pir�mide hexagonal regular mede \(8\operatorname{cm}\) e a altura \(10\operatorname{cm}\). Calcular a �rea lateral.
Tomamos a aresta com \(a=8\operatorname{cm}\) e a altura com \(h=10\operatorname{cm}.\) Primeiro vamos calcular a medida do ap�tema da face lateral da pir�mide hexagonal. Calcularemos o raio \(r\) da base.
Como a base � um hex�gono regular temos que \(r=\frac12 a\sqrt{3}\), assim \(r=4\sqrt{3}\) e pela rela��o de Pit�goras, segue que o ap�tema � obtida com \((ap)^2=r^2+h^2\), logo:
\[(ap)^2= (4\sqrt{3})^2+10^2 = 148 = 4{\times}37\]
assim
\[ap = 2\sqrt{37}\]
A �rea da face e a �rea lateral, s�o dadas por:
\[\begin{align} A(face) & = \frac{8{\times}2\sqrt{37}}{2} = 8\sqrt{37} \\ A(lat) & = n\;A(face) = 6(8)\sqrt{37} = 48\sqrt{37} \end{align}\]
6 �rea total de uma pir�mide
A �rea total de uma pir�mide � a soma da �rea da base com a �rea lateral, isto �:
\[A(total) = A(lat) + A(base)\]
Exemplo: As faces laterais de uma pir�mide quadrangular regular formam �ngulos de \(60\operatorname{^0}\) com a base e t�m as arestas da base medindo \(18\operatorname{cm}\). Qual � a �rea total?
J� vimos que \(A(lat)=n\;A(face)\) e como \(\cos(60^\circ)=\frac12 lado/a\), ent�o \(1/2=9/a\) donde segue que \(a=18\), assim:
\[A(face) = \frac12 b h = \frac12 18(18) = 162\]
Como \(A(lat) = 4{\times}162 = 648\) e \(A(base) = 18^2 = 324\) conclu�mos que:
\[A(total) = A(lat) + A(base) = 648+324 = 970\]
Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a �rea total de suas barracas, as quais t�m forma piramidal quadrangular.
Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede \(1\m\). A barraca tem \(4\) passos escoteiros de lado da base e \(2\) passos de ap�tema. Calcular a �rea da base, �rea lateral e a �rea total.
\[A(base) = 2{\times}2 = 4\m^2, \quad A(lat) = 4(2)(1) = 8\m^2\]
Logo, a �rea total da barraca �
\[A(total) = A(lat) + A(base) = 8 + 4 = 12\m^2\]
7 Volume de uma Pir�mide
O volume \(V(pir)\) de uma pir�mide pode ser obtido como um ter�o do produto da �rea da base pela altura da pir�mide, isto �:
\[V(pir) = \frac13 A(base)\;h\]
Exemplo: Fulana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pir�mide regular com base quadrada. A curiosa Fulana quer saber o volume de perfume que o frasco cont�m. Para isso ela usou uma r�gua e tirou duas informa��es: a medida da aresta da base de \(4\operatorname{cm}\) e a medida da aresta lateral de \(6\operatorname{cm}\).
Como \(V(pir)=\frac13 A(base) h\), devemos calcular a �rea da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado \(a=4\operatorname{cm}\), logo \(A(base) = a^2 = 4^2\operatorname{cm}^2 = 16\operatorname{cm}^2\).
A altura \(h\) da pir�mide pode ser obtida como a medida de um cateto de um tri�ngulo ret�ngulo cuja hipotenusa � dada pela altura \(L=6\operatorname{cm}\) da aresta lateral e o outro cateto \(Q=2\sqrt{2}\) que � a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma \(h^2=L^2-Q^2\), se onde segue que \(h^2=36-8=28\) e assim temos que \(h=2\sqrt{7}\) e o volume � \(V=\frac13 16{\times}2\sqrt{7}=\frac{32}{3} \sqrt{7}\).
8 Se��o Transversal de uma pir�mide
Se��o transversal de uma pir�mide � a interse��o da pir�mide com um plano paralelo � base da mesma. A se��o transversal tem a mesma forma que a base, isto �, as suas arestas correspondentes s�o proporcionais. A raz�o entre uma aresta da se��o transversal e uma aresta correspondente da base � dita raz�o de semelhan�a.
Notas sobre se��es transversais:
- Em uma pir�mide qualquer, a se��o transversal e a base s�o regi�es poligonais semelhantes. A raz�o entre a �rea da se��o transversal e a �rea da base � igual ao quadrado da raz�o de semelhan�a.
- Ao seccionar uma pir�mide por um plano paralelo � base, obtemos outra pir�mide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos � pir�mide original.
- Se duas pir�mides t�m a mesma altura e as �reas das bases s�o iguais, ent�o as se��es transversais localizadas � mesma dist�ncia do v�rtice t�m �reas iguais.
- \(V(sec)\) � o volume da se��o at� o v�rtice (volume da pir�mide menor),
- \(V(pir)\) � o volume da pir�mide (maior),
- \(A(sec)\) � a �rea da se��o transversal (base da pir�mide menor),
- \(A(base)\) � a �rea da base da pir�mide (maior),
- \(h\) � a dist�ncia do v�rtice � se��o (altura da pir�mide menor), e
- \(H\) � a altura da pir�mide (maior).
Assim:
\[\frac{V(sec)}{V(base)} = \frac{A(sec)}{A(pir)} \frac{h}{H}\]
e
\[\frac{A(sec)}{A(base)} = \frac{h^2}{H^2}\]
Ent�o:
\[\frac{V(sec)}{V(base)} = \frac{h^3 }{H^3}\]
Exemplo: Uma pir�mide tem a altura medindo \(9\operatorname{cm}\) e volume igual a \(108cm^3\). Qual � o volume do tronco desta pir�mide, obtido pelo corte desta pir�mide por um plano paralelo � base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pir�mide � \(3\operatorname{cm}\)?
Como
\[\begin{align} V(pirMenor)/V(pir) &= h^3 /H^3 \\ V(pirMenor)/108 &= 6^3 /9^3 \\ V(pirMenor) &= 32 \end{align}\]
ent�o
\[V(tronco) = V(pir) - V(pirMenor) = 108\operatorname{cm}^3 - 32\operatorname{cm}^3 = 76\operatorname{cm}^3\]