As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:
Sendo:
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à
hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
Semelhança e relações métricas
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:
Usando que encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:
Teorema de Pitágoras
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Exemplos
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 =
a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e
c2 = a . m
Fórmulas
Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.
Para saber mais, leia também:
- Trigonometria no Triângulo Retângulo
- Exercícios de trigonometria no triângulo retângulo
- Exercícios de Trigonometria
- Triângulo Retângulo
- Razões Trigonométricas
- Seno, Cosseno e Tangente
- Exercícios de seno, cosseno e tangente
- Relações Trigonométricas
- Identidades trigonométricas
- Fórmulas de Matemática
Exercícios Resolvidos
1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo
2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
Os triângulos são polígonos que possuem três lados, assim também apresentam três ângulos internos, três ângulos externos e três vértices. No entanto, não são quaisquer três segmentos de reta que determinam um triângulo, ou seja, o tamanho dos lados tem influência em sua existência.
Podemos classificar os triângulos de acordo com o tamanho de seus lados, podendo ser escalenos, isósceles ou equiláteros. E, em relação a seus ângulos internos, podem ser chamados de triângulos retângulos, acutângulos ou obtusângulos.
Leia também: Conhecendo os polígonos
Elementos de um triângulo
Antes de classificarmos um triângulo, vamos entender os elementos que o formam. Em todo triângulo teremos três lados, estes são formados por segmentos de reta. Teremos também três vértices, em que os segmentos de reta encontram-se em ângulos internos e externos. Veja na figura:
Os lados, como dito, serão determinados por segmentos de reta, e vamos representá-losda seguinte maneira:
Os vértices do triângulo são pontos em que os lados se encontram, bem como usados para dar nome ao triângulo. Vamos representá-los assim:
Os ângulos internos são as medidas entre os lados do triângulo, logo, teremos três ângulos internos. Estes são representados desta forma:
Devemos colocar um acento circunflexo (ou um “chapéu”) no vértice em que se encontra o ângulo.
Os ângulos externos são ângulos adjacentes suplementares aos ângulos internos, e aqui são representados pelas letras gregas α (alfa) β (beta) e γ (gama). Veja melhor na imagem:
Saiba mais: Soma dos ângulos internos de um triângulo
Condição de existência dos triângulos
Imagine 3 segmentos de reta medindo respectivamente 10 cm, 7 cm e 6 cm. Será possível construir um triângulo com essas medidas? Observe:
Nós temos um exemplo que mostra que não são quaisquer 3 segmentos que formam um triângulo. Existe uma condição que tem de ser satisfeita.
A medida de cada lado do triângulo deve ser menor que a soma da medida dos outros dois lados e, ao mesmo tempo, maior que o módulo da diferença entre elas.
As medidas l1, l2 e l3 são os tamanhos dos lados do triângulo. Essa relação também é conhecida como desigualdade triangular.
- Exemplo.
É possível construir um triângulo com os lados medindo 12 cm, 9 cm e 4 cm?
Solução:
Tomando:
Perceba que esses valores satisfazem a fórmula da condição de existência. Substituindo os valores, temos:
Como 8 < 9 < 16,então é possível construir um triângulo com essas medidas de lado.
Se quiser saber mais sobre o tema, leia nosso texto: Condição de existência de um triângulo.
Classificação quanto aos lados
Em relação ao tamanho dos lados de um triângulo, podemos classificá-los em três: triângulo escaleno, triângulo isósceles e triângulo equilátero.
Triângulo escaleno
Dizemos que um triângulo é escaleno quando todos os lados apresentarem medidas diferentes.
Assim, podemos dizer que todos ângulos internos também são diferentes entre si.
Triângulo isósceles
Dizemos que um triângulo é isósceles quando dois de seus lados são congruentes, ou seja, apresentam a mesma medida, e o terceiro lado é diferente.
No triângulo isósceles, temos também dois ângulos iguais, que são chamados de ângulos da base, e o outro ângulo diferente.
Triângulo equilátero
Dizemos que um triângulo é equilátero quando todos os seus lados são iguais, isto é, todos os lados têm a mesma medida.
No triângulo equilátero, todos os ângulos são congruentes, ou seja, todos os ângulos são iguais. Além disso, uma propriedade muito importante do triângulo equilátero é que todos os seus ângulos medem 60°.
Veja também: Semelhança de triângulos: aprenda os casos
Classificação quanto aos ângulos
Em relação à medida dos ângulos, também podemos classificar os triângulos em três tipos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo e triângulo obtusângulo.
Triângulo retângulo
Quando um triângulo apresentar um ângulo reto, ele será chamado de triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois lados são chamados de catetos. Além disso, é para esse triângulo que vale o teorema de Pitágoras.
Do triângulo retângulo anterior, podemos dizer:
m (Â) = 90º → ângulo reto
BC → hipotenusa
AB e AC → catetos
Triângulo acutângulo
Um triângulo será dito acutângulo quando todos os seus ângulos internos forem menores que 90°.
Do triângulo acutângulo, temos que:
Triângulo obtusângulo
O triângulo é obtusângulo quando apresenta um ângulo interno maior que 90°.
Do triângulo obtusângulo, segue que:
Saiba mais: Perímetro do triângulo equilátero: aprenda a fórmula
Exercícios resolvidos
Questão 1. Nas figuras seguintes, classifique os triângulos em relação aos lados e ângulos.
a)
R: Retângulo e escaleno
b)
R: Acutângulo e equilátero
c)
R: Obtusângulo e escaleno
d)
R: Acutângulo e escaleno
e)
R: Acutângulo e isósceles