Transcrição de vídeo
RKA - Digamos que você está do lado de fora de casa soltando pipa com um amigo. E, neste momento aqui, você está a 40 metros desse seu amigo. E, aí, você sabe também que a linha que liga você à pipa mede 30 metros, e você mediu o ângulo que a sua pipa, lá no céu, forma com o solo. E, aí, você sabe que esse ângulo é de 40 graus. E o que nós estamos curiosos para descobrir aqui é qual é o ângulo que a linha forma com o solo. Portanto, aqui eu te encorajo a pausar o vídeo e tentar você mesmo fazer. E, aí, será que você consegue fazer usando apenas estas informações aqui que foram dadas? Pois bem, aqui, sempre que eu vejo um triângulo que, digamos, não é um triângulo retângulo, eu sempre penso se a lei dos cossenos pode ser útil para mim; ou então, a lei dos senos. Vamos, então, pensar um pouquinho sobre qual das duas leis vai ser importante aqui para a gente resolver. A lei dos cossenos é o seguinte: ela me diz que "c²" é igual a "a²" mais "b²" menos "2ab" vezes o cosseno de um ângulo θ. Então, o que que esta lei dos cossenos aqui está nos dizendo? Ela está relacionando três lados de um triângulo (digamos, lados "abc") a um determinado ângulo θ aqui. Ou seja, se eu souber dois lados e o ângulo entre estes dois lados, eu consigo determinar o valor daquele terceiro lado; ou, se eu souber o valor dos três lados, eu consigo descobrir o valor do ângulo. Mas esse não é o caso desta questão. É ou não é? Pois a gente quer descobrir o valor desta interrogação aqui. E nós não sabemos o valor dos três lados. E, pelo fato de eu não saber a medida dos três lados aqui, eu acho que eu não consigo aplicar a lei dos cossenos. É ou não é? Então, talvez, a lei dos senos seja útil para a gente, né? Deixe-me fazer aqui um triângulo. Digamos que este ângulo aqui é o ângulo "a", aqui nós temos o ângulo "b", e aqui nós temos o ângulo "c". E, aí, este lado aqui é o "C"; aqui, "A"; e aqui, "B". Beleza? O que a lei dos senos nos diz é que a razão entre o seno de um ângulo e seu lado oposto é sempre constante em todos os ângulos. Olha só! Então, vai ser: seno do ângulo "a" sobre o "A", isso vai ser igual ao seno do "b" sobre o "B", que também é igual (por ser constante) ao seno do ângulo "c" sobre o lado "C". Olhe aí! E, agora, será que a gente consegue aplicar isto daqui no problema? Ora, é o seguinte: eu sei que eu tenho este ângulo, e o lado oposto a este ângulo está aqui, mede 30. É ou não é? Então, a gente já pode escrever aqui esta razão: seno de 40 graus sobre 30, certo? Aí, eu posso dizer que isto aqui é igual ao seno deste ângulo aqui (que é o que a gente quer descobrir) sobre este lado. Mas a gente não sabe nada sobre este lado, então, parece que não vai nos ajudar. Porém, nós sabemos a medida deste lado aqui. Então, a gente pode usar a lei dos senos para tentar descobrir este ângulo. E, aí, descobrindo a medida deste ângulo, eu vou saber dois ângulos do triângulo, o terceiro sai automaticamente. É ou não é? Portanto, digamos que este ângulo aqui seja θ; e esta medida aqui deste lado, como foi dada, é de 40 metros. Então, eu posso escrever a seguinte razão: que o seno do ângulo θ sobre 40, isso vai ser igual a seno de 40 sobre 30. É ou não é? Já que a lei dos senos nos diz que essas razões são sempre constantes; e é sempre o mesmo resultado (quando estamos considerando o mesmo triângulo). Agora, basta resolvemos para o θ, e acabou. Posso começar multiplicando ambos os lados aqui por 40, certo? Aí, eu simplifico este com este; simplifico este zero aqui também. E eu vou ter aqui o quê? 4/3 vezes o seno de 40 igual ao seno de θ. É ou não é? Então, seno de θ. E, agora, para a gente descobrir o valor do θ, basta fazer o seno inverso em ambos os lados, né? Então, seno inverso de 4/3 de seno de 40 graus, isso vai ser igual ao ângulo θ. Portanto, vamos usar a calculadora agora para descobrir. Primeiro, eu vou ver se eu estou no modo de graus. Olha aqui: graus. Tudo certo! Portanto, eu vou calcular o seno inverso de 4 dividido por 3 (4/3) vezes o seno de 40 graus. Olhe aí! Quanto será que isso vai dar? "Enter". Escrevendo este resultado aqui com a máxima precisão que eu posso (no caso, na casa dos centésimos): "58,99". Então, este θ aqui vai ser aproximadamente "58,99" graus. Acabou aqui? É claro que não. A gente quer descobrir o valor desta interrogação; então, vamos lá para a calculadora novamente, e vamos fazer o seguinte: este ângulo aqui vai ser 180 graus menos o θ menos estes 40 aqui. Sim ou não? Então, vai ser 180 menos 40 menos... como eu quero uma precisão bem legal aqui (né?), eu vou fazer menos aquela resposta anterior, certo? Então, "enter". Olhe aí! E, portanto, aquela interrogação ali representa um ângulo de aproximadamente "81,01" graus. E terminamos aqui. Até o próximo vídeo!
Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
(UK Junior Mathematical Olympiad 2012 – Adaptado) No triângulo [tex]ABC[/tex] da figura:
- [tex]D[/tex] é um ponto do segmento [tex]AB [/tex] tal que os segmentos [tex]AD[/tex] e [tex]DC[/tex] têm o mesmo comprimento;
- a medida do ângulo [tex]A\hat BC[/tex] é [tex]72^\circ[/tex];
- a medida do ângulo [tex]A \hat DC [/tex] é cinco vezes a medida de [tex]D \hat CB[/tex].
Qual a medida do ângulo [tex]A \hat CD[/tex]?
Observação: Figura não proporcional aos dados do problema.
Solução
Seja [tex]\alpha[/tex] a medida em graus do ângulo [tex] D \hat C B.[/tex] Assim, a medida em graus do ângulo [tex] A \hat DC[/tex] é [tex]5\alpha[/tex] e, consequentemente, a medida de [tex] C \hat DB[/tex] é [tex]180^\circ-5\alpha[/tex], já que [tex] A \hat DC[/tex] e [tex] C \hat DB[/tex] são ângulos suplementares.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é [tex]180^\circ [/tex], observando o triângulo [tex]BDC[/tex] segue que
[tex]\qquad
\left(180^\circ-5\alpha \right)+\alpha+72^\circ=180^\circ [/tex]
[tex]\qquad \cancel{180^\circ}-5\alpha +\alpha+72^\circ=\cancel{180^\circ} [/tex]
[tex]\qquad 4\alpha =72^\circ [/tex]
[tex]\qquad \alpha =18^\circ .[/tex]
A partir da medida [tex]\alpha[/tex], obtemos que a medida do ângulo [tex] A \hat D C[/tex] é [tex]5 \times 18^\circ= 90^\circ.[/tex]
Finalmente, já podemos calcular a medida do ângulo [tex]A \hat CD[/tex].
Note que [tex]A \hat CD[/tex] é um dos ângulos da base de um triângulo isósceles; assim, se
sua medida em graus for denotada por [tex]x[/tex], então a medida do ângulo [tex]D \hat A C[/tex] também será [tex]x[/tex]. Com isso, utilizando mais uma vez que "a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é [tex]180^\circ [/tex]" segue que:
[tex]\qquad x+90^\circ +x=180^\circ [/tex]
[tex]\qquad 2x+90^\circ =180^\circ [/tex]
[tex]\qquad 2x =90^\circ [/tex]
[tex]\qquad x =45^\circ .[/tex]
Pelo exposto, a medida do ângulo [tex] A \hat C D[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45^\circ$} \, .[/tex]
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