A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada pela seguinte expressão:
V – A + F = 2
Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.
Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.
Antes de prosseguir com exemplos e demais explicações, é bom relembrar o que é um poliedro convexo, pois a relação acima vale para todos eles.
Poliedros convexos
Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Na prática, não é necessário testar essa definição para todas as faces de um poliedro, mas apenas para aquelas que potencialmente possam classificá-lo como não convexo.
Por exemplo: O poliedro abaixo é não convexo. Para ter certeza disso, desenhamos uma parte de um plano que contém uma de suas faces. É evidente, escolhemos a face problemática para percebermos isso.
Já na figura abaixo, um cubo, um exemplo de um poliedro convexo. Note que ele não possui “concavidades”, ou seja, nenhuma de suas faces esta “voltada para dentro” do poliedro.
Contando os elementos de um poliedro
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Para verificar a validade da relação de Euler, escolheremos dois poliedros convexos e contaremos seus elementos. Depois disso, verificaremos se o número de vértices, arestas e faces realmente satisfazem a relação de Euler. Observe:
1 – Primeiramente, contaremos o número de faces, vértices e arestas da figura anterior (cubo).
Faces: 6
Arestas: 12
Vértices: 8
Agora, verificaremos a relação de Euler:
V – A + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2
Para o primeiro poliedro convexo, o cubo, a relação de Euler se verifica.
2 – Verificaremos agora a relação de Euler para a pirâmide quadrangular convexa.
Faces: 5
Arestas: 8
Vértices: 5
V – A + F = 5 – 8 + 5 = 10 – 8 = 2
E a relação de Euler também se verifica para a pirâmide quadrangular convexa.
Exemplos
1 – Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces.
V – A + F = 2
10 – A + 7 = 2
– A = 2 – 7 – 10
– A = – 15
A = 15
O sólido possui 15 arestas.
2 – Determine o número de faces que possui um poliedro com 12 arestas e 6 vértices.
V – A + F = 2
6 – 12 + F = 2
F = 2 +12 – 6
F = 8
O número de faces desse poliedro é 8.
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
V: vértice
A: arestas
F: faces
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12
* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
P: pentagonais (5 arestas)
T:
triangulares (3 arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 +
2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.