O ângulo externo de um polígono é aquele formado por um lado da figura e o prolongamento de seu lado contínuo. Assim, o ângulo é formado fora do polígono.
Para entendê-lo de outra forma, o ângulo externo é aquele que compartilha o mesmo vértice com um ângulo interno, sendo a este complementar. Ou seja, os ângulos externos e internos do mesmo vértice somam 180º ou formam um ângulo reto.
Como podemos ver na imagem acima, o ângulo externo do vértice D mede 56,3º, o que corresponde a um ângulo interno de 123,7º.
A seguinte igualdade pode então ser considerada como certa, onde x é o ângulo externo e Ɵ é o ângulo interno do respectivo vértice
Soma dos ângulos externos
A soma dos ângulos externos de um polígono é igual a um ângulo completo, ou seja, 360º ou 2π radianos. Isso, independentemente do número de lados do polígono.
Devemos especificar que este cálculo leva em consideração apenas um ângulo externo para cada vértice. Por outro lado, se considerarmos dois, a soma total dos ângulos externos do polígono seria 720º ou 4π radianos.
Dito isso, no caso de um polígono regular (onde todos os lados e ângulos internos medem o mesmo), o ângulo externo de todos os vértices são idênticos entre si e podem ser calculados com a seguinte equação:
Na fórmula apresentada, x é a medida do ângulo externo en, o número de lados do polígono regular.
Exemplo de ângulo externo
Suponha que o ângulo interno de um polígono regular seja maior do que seu ângulo externo em 90º. Qual é a sua forma e quão grande é o seu ângulo exterior?
Em primeiro lugar, lembramos que o ângulo externo e interno são complementares. Portanto, se x é o ângulo externo e Ɵ o ângulo interno:
Então, para saber qual polígono é, devemos lembrar que a soma de todos os ângulos externos é 360º:
Portanto, estamos diante de um octógono regular.
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Em um polígono, um ângulo interno é aquele formado por dois lados consecutivos:
ou seja, o vértice de um ângulo interno coincide com o vértice do polígono. Na figura acima, temos destacado o ângulo \(A\hat{B}C\).
Já um ângulo externo é aquele se forma quando prolongamos um dos lados do polígono. Por exemplo, tomando a figura anterior, ao se prolongar o lado \(\bar{BC}\), formamos o seguinte ângulo do lado de fora:
Note que um ângulo interno junto com o seu ângulo externo são sempre suplementares, isto é, a soma de suas medidas vale 180º:
$$A\hat{B}C+A\hat{B}G=180º$$
Por exemplo, no triângulo abaixo, temos um ângulo interno de 70º:
ao se prolongarmos um dos lados desse ângulo, obtemos seu ângulo externo, cuja medida é de 110º pois, 110º+70º=180º.
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A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser determinada conhecendo o número de lados (n), bastando subtrair este valor por dois (n - 2) e multiplicar por 180°.
Um polígono é uma superfície fechada formada por uma linha poligonal, ou seja, os lados são segmentos de reta, e o encontro entre dois lados forma um ângulo. No caso do polígono ser convexo, todos os ângulos internos são menores que 180°.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Para somar os ângulos internos de um polígono convexo ou conhecemos os valores de todos os ângulos e somamos, ou podemos determinar a soma conhecendo o número de lados deste polígono.
Conhecer o total de lados de um polígono é, em muitos casos, uma informação mais fácil de obter do que os valores de cada ângulo.
Fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono
Para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo conhecendo apenas o número de lados, utilizamos a fórmula:
Onde,
Si é a soma, o total de graus de todos os ângulos.
n é o número de lados.
Exemplo
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é:
Como um quadrilátero possui 4 lados, n será igual a 4.
Soma dos ângulos internos de um polígono regular
A soma dos ângulos internos de um polígono regular é calculada da mesma forma. Um polígono é regular quando possui todos os lados e ângulos com medidas iguais. O número de ângulos é sempre igual o número de lados.
Ângulo interno de um polígono regular
Como todos os ângulos possuem mesma medida, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de ângulos, portanto, número de lados.
Onde,
Si é a soma, o total de graus de todos os ângulos.
n é o número de lados.
Exemplo
A medida dos ângulos internos de um pentágono regular é:
Primeiro determinamos a soma de seus ângulos internos usando n = 5.
Agora, basta dividir pelo número de lados.
Nome de polígonos em função dos lados
Nome de alguns polígonos em função da quantidade de lados.
| 3 | Triângulo |
| 4 | Quadrilátero |
| 5 | Pentágono |
| 6 | Hexágono |
| 7 | Heptágono |
| 8 | Octógono |
| 9 | Eneágono |
| 10 | Decágono |
| 11 | Undecágono |
| 12 | Dodecágono |
| 20 | Icoságono |
Dedução da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono
Partimos da premissa de que todo triângulo possui 180° como soma de seus ângulos internos.
A partir de um vértice qualquer de um polígono convexo, podemos traçar diagonais e formar triângulos.
Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180°, basta multiplicar o número de triângulos formados por 180°.
Podemos observar que a quantidade de triângulos formados é sempre igual ao número de lados menos 2.
Para um triângulo, n =3.
Para um quadrilátero, n = 4.
Há 2 triângulos:
Para um pentágono, n = 5.
Há 3 triângulos:
Desta forma, podemos generalizar e substituir o termo nº de triângulos por (n-2) e a fórmula fica assim:
Aprenda mais sobre polígonos e ângulos.
Exercícios
Exercício 1
Determine a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 17 lados.
Exercício 2
Qual o nome de um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1 440°?
Ver Resposta
Resposta: O polígono cuja soma dos ângulos internos é 1 440° se chama decágono, e possui 10 lados.
Exercício 3
Determine o valor dos ângulos internos de um octógono regular.
Ver Resposta
Resposta: Em octógono regular, cada ângulo interno mede 135º.
Primeiro devemos determinar a soma dos ângulos internos de um octógono. Como possui oito lados, n = 8.
Como o polígono é regular, todos os ângulos internos possuem a mesma medida e, basta dividir o total por 8.
Pratique mais exercícios sobre polígonos.
Veja também:
- Área e Perímetro
- Área dos Polígonos
- Polígonos regulares
- Hexágono
- Quadriláteros
- Paralelogramo
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.