Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Quando Pietro entrou na sala de espera do consultório médico, faltavam alguns minutos para as três horas da tarde. Ele reparou que o relógio que estava pendurado em uma das paredes da sala de espera tinha seu centro a 2,5 metros do chão e esse centro estava exatamente à mesma distância das paredes
laterais. Cada um dos ponteiros apontava para um dos cantos superiores da parede.
Já passava das três e meia quando Pietro ouviu anunciar a sua chamada para consulta; nesse momento ele olhou para o relógio e reparou na coincidência: cada um dos ponteiros apontava, agora, para cada um dos cantos inferiores da parede.
Quanto tempo Pietro esperou?
Quais as dimensões da parede onde estava o relógio?
Solução
Consideremos que:
- [tex]t_1[/tex] seja o tempo que faltava para as 15h quando Pietro chegou;
- [tex]d[/tex] seja o ângulo descrito pelo ponteiro das horas (a partir das 12h) até o momento em questão;
- [tex]\alpha[/tex] seja o ângulo a ser percorrido pelo ponteiro dos minutos (desde o momento em questão) até que este atinja o marcador das 12h;
conforme ilustra a figura abaixo. Note que [tex]\alpha[/tex] e [tex]d[/tex] são simétricos em relação ao marcador das 12h e que os triângulos que visualizamos na figura
são congruentes (por LAL).
Agora, usemos uma relação de proporcionalidade para determinarmos
[tex]t_1[/tex].
- Observe, inicialmente, que o ponteiro das horas percorre 30º a cada hora (ou 60 minutos), já que leva 12 horas para dar uma volta completa (360º) no relógio.
- Por sua vez, o ponteiro dos minutos percorre 360º a cada hora (ou 60 minutos).
Temos, então, as seguintes relações de proporcionalidade:
- PONTEIRO DAS HORAS (PH):
12h (720min) —————————– 360°
60min —————————– 30°
[tex] t_1[/tex]min —————————– [tex]\left(0,5t_1\right)^\circ[/tex] - PONTEIRO DOS MINUTOS (PM):
60min ————————- 360°
[tex] t_1[/tex]min ————————— [tex]\left(6t_1\right)^\circ[/tex]
Como [tex]t_1[/tex] é o tempo que falta para as 15h, temos que [tex]0,5t_1[/tex] é o ângulo complementar de [tex]d[/tex], ou
seja, o que falta para completar 90°. Assim, [tex] d=90^{\circ}-\left(0,5t_1\right)^{\circ}.[/tex]
Por outro lado, sendo [tex]t_1[/tex] o tempo necessário para que o ponteiro dos minutos atinja a marca das 12h, podemos constatar que [tex]\alpha=(6t_1)^{\circ}[/tex]. Sendo assim, pela simetria do problema já observada anteriormente, temos então que [tex]90-0,5t_1=6t_1[/tex], do que decorre que [tex]t_1=\dfrac{180}{13}[/tex] minutos.
Com raciocínio análogo, considerando [tex]t_2[/tex] o tempo transcorrido após às 15h, temos que
[tex]90+0,5t_2=360-6t_2[/tex] (procure se convencer da validade dessa relação), de modo que [tex]t_2=\dfrac{540}{13}[/tex] minutos, ou seja, o tempo total de espera de Pietro foi de
[tex]\qquad \qquad \dfrac{180}{13}[/tex]+[tex]\dfrac{540}{13}[/tex]=[tex]\dfrac{720}{13}[/tex] minutos (aproximadamente 55 minutos e 23 segundos).
A segunda parte do problema exige conhecimentos mais específicos de matemática. A figura seguinte representa o momento final da espera do Pietro.
O ponteiro das horas descreveu, a partir do marcador das 12h, o ângulo [tex]b[/tex], dado por
[tex]b = 90^{\circ}+\left(0,5t_2\right)^{\circ}\cong 110,77^{\circ}[/tex].
O ângulo [tex]c[/tex] será então o suplementar de [tex]b[/tex], ou seja, [tex]c=180^{\circ}-b \cong 69,23^{\circ}[/tex].
Sabendo trigonometria e considerando a tangente do ângulo [tex]c[/tex], conseguimos saber quanto mede [tex]y[/tex], metade do comprimento da parede:
[tex]\qquad \qquad y\cong 2,5 \cdot tg( 69,23^{\circ}) \cong 6,59\text{ m}[/tex].
Passemos à figura seguinte, que representa o momento de
entrada do Pietro na sala:
O ângulo [tex]d[/tex] descrito pelo ponteiro das horas, a partir do marcador das 12h,
é [tex]d=90^{\circ}-\left(0,5t_1\right)^{\circ}\cong83,08^{\circ}[/tex].
Por meio da tangente deste ângulo descobrimos a distância [tex]z[/tex] do centro do relógio ao teto:
[tex]\qquad \qquad z\cong \dfrac{6,59}{tg(83,08^{\circ})}\cong 0,80\text{ m}[/tex].
Finalmente, a altura e a largura da sala são de, aproximadamente,
[tex]\qquad 2,5+0,8=3,3[/tex] metros
e
[tex]\qquad 2\times 6,59=13,18[/tex] metros,
respectivamente.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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