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Uma das perguntas mais comuns para quem estuda probabilidade ou é fã de jogos de azar: qual a probabilidade de sair o número X, pelo menos uma vez, ao jogarmos um dado n vezes? Por conta daquela regrinha do “e” e do “ou” quando aprendemos probabilidade, muitas pessoas fazem confusão (inclusive já
mencionei no post do link essa confusão). Pensemos no título desse post: qual a probabilidade de tirarmos o número 1, em ao menos uma das jogadas, ao jogarmos um dado duas vezes? É comum alguns estudantes responderem 2/6 (= 1/3), pois a probabilidade de tirar 1 na primeira jogada é 1/6 e a probabilidade de tirar 1 na segunda jogada também é 1/6. Então, como queremos obter o número 1 na primeira ou na segunda jogada, basta somar essas duas probabilidades. Veja que
partindo dessa lógica, a probabilidade de tirarmos 1 ao jogarmos um dado 6 vezes é 1/6+1/6+…+1/6 = 1, ou seja, 100%! Ao jogarmos o dado 6 vezes com certeza obteremos o número 1 em ao menos uma das jogadas. Faz sentido? Não, não faz. Podemos tirar {2,2,2,2,2,2}, {2,2,2,2,2,3}, {2,2,2,2,2,4}, etc. Antes de mais nada, note que ao jogarmos o dado duas vezes, nosso espaço amostral se altera. Agora, não temos apenas 6 resultados possíveis e sim 36. Já é mais um
indício de que algo diferente tem que ser feito. Essas coisas mais intuitivas são excelentes para evitar erros. Indo ao que interessa, o que faz toda a diferença nesse tipo de problema é o fato de que os eventos não são mutuamente exclusivos. Ou seja, eles podem ocorrer ao mesmo tempo. Olhe com atenção, se você quiser saber a probabilidade de, ao lançar um dado, obter o número 1 ou o número 4, você não tem a
possibilidade de obter os dois, então, a resposta será: 1/6 + 1/6 = 2/6= 1/3! Entretanto, se você quiser saber a probabilidade de ocorrer 1 ao lançar dois dados, deve se atentar ao fato de que os eventos não são mutuamente exclusivos, então você precisa subtrair a probabilidade de ocorrer 1 nos dois lançamentos, a fórmula a ser utilizada é: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Ou seja, a resolução do problema do título desse post é: 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 Outra forma de pensar, seria nos eventos complementares. A mesma resposta é obtida quando obtemos a probabilidade de não se tirar 1 em nenhum dos dois lançamentos e subtraímos de 1 (ou 100%): 1 – (5/6 * 5/6) = 1 – 25/36 = 11/36 Não confunda: Probabilidade de sair o número 1 nos dois lançamentos do dado é 1/36. A probabilidade de sair pelo menos um número 1 no lançamento de dois dados é 11/36. Agora você está preparado para os
jogos de azar com dados! #partiuVegas! E aí? Gostou do conteúdo? Se inscreva para receber todas as novidades. Deixe seu e-mail em INSCREVA-SE na barra à direita, logo abaixo de pesquisar. E, por favor, não deixe de comentar, dar seu feedback e, principalmente, compartilhar com seus amigos. De verdade, isso faz toda a diferença. Além disso, você também pode acompanhar mais do meu trabalho seguindo a conta de Twitter @UniDosDados ou por alguma das redes que você encontra em Sobre o Estatsite / Contato, como meu canal de Youtube Canal Universidade dos Dados. E se você gosta de tecnologia, escute o podcast Futuristando! Bons estudos!
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Probabilidade - Conceito de Probabilidade
Experimento Aleatório
Quando estudamos Probabilidade, chamamos qualquer experiência ou ensaio cujo resultado não pode ser previsto de experimento aleatório. Por exemplo, lançar um dado e observar o número da face voltada para cima.
Chama-se de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis na realização de um experimento aleatório.
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um exemplo de um evento é obter cara (ou coroa) no lançamento de uma moeda.
A probabilidade de um evento é definida como:
Ou seja,
onde n(A) é o número de possibilidades de ocorrência do evento A e n(W) é o número de elementos do conjunto W (espaço amostral).
Exemplo
No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair um número par?
Num dado, há três possibilidades de número par: 2, 4, 6.
Portanto, A = (2, 4, 6)
Um dado contém 6 números. Portanto, o número de elementos do conjunto W (espaço amostral) é 6:
W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)
Note que
Probabilidade de eventos independentes
Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.
Se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade individual de cada um.
Isto é: P (A e B) = P(A) x P (B).
Exemplo
Um único dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair o número 5 em ambos os lances?
Resposta
A probabilidade que saia o número 5 no primeiro lance é 1/6. Este resultado não afeta o resultado do segundo lance, pois são eventos independentes. A probabilidade que saia o número 5 no segundo lance também é 1/6. Portanto, a probabilidade que saia dois 5s consecutivos é: 1/6 x 1/6 = 1/36.
Probabilidade de eventos exclusivos
Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente: P (A e B) = 0.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos (A ou B), a probabilidade que A ou B ocorra é definida como a soma de suas probabilidades.
Isto é: P(A ou B)= P(A)+P(B).
Exemplos
Se um dado é lançado uma só vez, qual a probabilidade que saia 5 ou 6?
Resposta
Toda vez que se lança um dado, sai apenas um número. Não é possível que num único lance saia dois números simultaneamente. Neste exemplo, os dois eventos (sair 5 e sair 6) são mutuamente exclusivos. A probabilidade que saia 5 é 1/6. A probabilidade que saia 6 também é 1/6. A probabilidade que saia 5 ou 6 é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Dois eventos, A e B, são inclusivos quando é possível que ocorra A, B ou ambos. Se dois eventos, A e B, são inclusivos, a probabilidade que ocorra A ou B é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade que ambos ocorram.
Isto é: P (A ou B ou ambos) = P(A) + P (B) – P (A e B)
Exemplo
Se um dado é lançado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou um número maior que 3?
Resposta
Quando um dado é lançado, é possível que saia um número par e é possível que saia um número maior que 3. Mas é também possível que saia um número que seja par e acima de 3. Por exemplo, o número 4 é par e maior que o número 3.
A probabilidade de se obter um número par é 1/2 (há 3 números pares e 3 números impares).
A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.
A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6. (O número 5 não é par e os outros números são menores que 3).
Portanto, a probabilidade de se obter um número que seja par ou acima de 3 é:
P(número par ou acima de 3 ou ambos): 1/2 +1/2 - 1/3 = 2/3.
Probabilidade Condicional
Agora considere dois eventos, A e B, e a probabilidade de ocorrer o evento B é afetada pela ocorrência do evento A. Neste caso, ocorre probabilidade condicional.
A probabilidade condicional de que o evento B ocorra se o evento A ocorrer, é definida da seguinte forma:
Exemplo
Uma confeitaria produziu 160 sobremesas. 80 dessas sobremesas contêm chocolate, 60 contêm chantili e 20 contêm ambos. Se uma sobremesa for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade de ela conter chocolate? Qual é a probabilidade de a sobremesa conter chocolate e chantili sendo que ela já contém chantili?
Resposta
A probabilidade de a sobremesa conter chocolate é:
P(chocolate) = 100/160 = 5/8
O fato de a sobremesa já conter chantili reduz o espaço amostral para 60 (há 60 sobremesas que contêm chantili). Neste grupo, há 20 sobremesas que contêm chocolate e chantili; portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma sobremesa que contenha esses dois ingredientes é 20/60 = 1/3.
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