Vamos considerar a figura acima, onde dois blocos A e B estão se deslocando na mesma direção horizontal, porém eles possuem sentidos contrários. Podemos ver na figura as possíveis situações antes da colisão e depois da colisão entre os blocos. Como sabemos que os blocos possuem certa quantidade de movimento, caso o sistema, durante o período de interação entre os blocos, não sofra nenhuma ação de força resultante externa, dizemos que eles (os blocos) não possuem impulso. Assim, através do teorema do impulso podemos escrever:
O resultado final acima nos diz que a quantidade de movimento total do sistema antes da colisão é igual à quantidade de movimento total do sistema depois da colisão. Com isso, podemos afirmar que a quantidade de movimento do sistema se conserva. Dizemos sistema mecanicamente isolado para um sistema que está livre da ação de força resultante externa. O resultado obtido na equação acima pode ser enunciado como a Lei da conservação da quantidade de movimento:
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A quantidade de movimento de um sistema mecanicamente isolado é constante.
A lei da conservação da quantidade de movimento é uma lei não fundamental na natureza que, algumas vezes, é chamada também de princípio da conservação da quantidade de movimento.
Não podemos esquecer que um sistema é dito isolado se a resultante das forças externas que atuam pode ser desprezada. E que a quantidade de movimento de um sistema pode permanecer constante ainda que a energia mecânica não permaneça, pois os princípios de conservação são independentes.
Não esqueça também que a quantidade de movimento de um sistema constituído por n elementos é a soma vetorial das quantidades de movimento de todos os elementos.
Por Domiciano Marques
Graduado em Física
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICO CURSO DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS CAMPUS MARABÁ FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I Profº André Scheidegger Laia AULA 8 Sistemas de partículas e Colisões Centro de massa e sistemas de partículas Corpos rígidos Lei de Newton para sistemas de partículas Momento linear O momento linear de um sistema de partículas Conservação do momento linear Colisões Impulso e momento linear Colisões elásticas Colisões inelásticas Colisões em duas dimensões Quem nunca viu! Sistemas de partículas • Em física temos um importante ponto de analise e que tem grande aplicação na resolução de muitos problemas físicos. • Este ponto é o centro de massa. Um ponto imaginário que representa uma posição em um corpo na qual toda a massa pode ser condensada e a partícula ainda pode se comportar do mesmo modo e inclusive seguir a mesma trajetória. Centro de massa • Se considerarmos o nosso sistema constituído por duas partículas de massa m1 e m2 estando m1 na origem do eixo x e separada de m2 por uma distancia d. Por definição o centro de massa será: Centro de Massa Se a massa m1 não estiver na origem d eixo x o centro de massa passa a ser representado por: Podemos ainda substituir m1 e m2 por M: Centro de Massa • O sistema ainda pode ser formado por n partículas todas em posições diferentes ao longo do eixo x. Neste caso: Centro de Massa • Se as n partículas estiverem distribuída em três dimensões, a posição do centro de massa deve ser especificado por três coordenadas. Vetor posição do Centro de Massa • Usando vetores para representar a posição da partícula em 3D o vetor posição do centro de massa passa a ser: • O que simplificando é: • Objetos comuns como um martelo, um machado, um prego ou qualquer outro objeto é uma junção de “bilhões” de átomos que se comportam cada como uma partícula minúsculas do sistema (objeto) que são distribuídas de forma contínua. • Neste caso cada partícula possui massa infinitesimal dm e no lugar de uma somatória agora iremos integrar essa partículas. • onde M é a massa do objeto. Corpos Maciços Corpos Maciços • Fazer este calculo para objetos comuns como TV, mesa, cadeira, machado, etc, se tornaria muito difícil e trabalhoso, daí a necessidade de considerarmos apenas objetos uniformes onde a massa especifica (densidade = ) é a mesma para qualquer partícula e também para o objeto como um todo. • Onde dV é o volume ocupado por uma partícula de massa dm e V é o volume total do objeto. Eixo de simetria • Se o corpo possuir algum eixo de simetria o trabalho é reduzido sendo que o centro de massa se encontra sobre este eixo de simetria. Exemplo A segunda lei de Newton para sistemas de partículas • Na colisão de duas partículas tais como duas bolas de sinuca, ocorre freqüentemente situações diferentes. As bolas seguem em linha reta, se dirigem para direções diferentes, uma para e a outra passa a se mover... • Porem nestes casos algo que não muda e permanece constante é a velocidade do centro de massa, uma vez que após a tacada o sistema não sofre influencia de nenhuma força externa e as forças internas se anulam. • Embora seja um ponto imaginário, o centro de massa move-se como uma única partícula cuja massa é igual à massa total do sistema, podendo ser associado a este uma posição, uma velocidade e uma aceleração. A segunda lei de Newton para sistemas de partículas • Considerando a massa do sistema igual a M e a aceleração deste ponto igual a acm , a resultante das forças externas será: • E em relação aos três eixos de coordenadas temos: Caso semelhante ao da colisão de duas bolas de sinuca acontece também com a explosão de fogos de artifícios. Se lançado em uma trajetória parabólica como na figura ele tenderá a permanecer na trajetória caso não exploda, porem as forças envolvidas na explosão são forças internas ao sistema realizada por parte do sistema sobre outras, portanto mesmo após a explosão o centro de massa dos fragmentos do foguete segue a trajetória normalmente sendo influenciados apenas pela força g. A segunda lei de Newton para sistemas de partículas Exemplo Momento Linear • Em física momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial definida através da equação: onde m é a massa e V a velocidade da partícula. Sua unidade no SI é o (kg . m/s) • Derivando essa expressão temos que: • Isso nos comprova que aplicando uma força sobre uma partícula provocamos uma variação em seu momento. Momento linear de um sistema de partículas Considerando um sistema constituído por n partículas cada uma com massa, velocidade e momento próprios e sujeitas tanto a forças internas como externas. Podemos representar o momento linear total destas partículas por P. Lembramos porem que esta expressão pode ser reduzida a: Momento linear de um sistema de partículas • Derivando a expressão anterior temos que: • O que retorna a Lei fundamental da dinâmica. Colisões O momento de uma partícula só pode sofrer variação com a ação de uma força externa. Em colisões com outros corpos (alvos) a partícula (projétil) é sujeita a uma força de curta duração e de grande intensidade. Colisões Simples • Em colisões simples tais como a de uma bola em um taco de beisebol, onde a colisão dura poucos instantes mas é suficiente para inverter o movimento do projétil. A força caçadora desta variação do movimento e conseqüentemente do momento muda de intensidade durante a colisão e pode ser definida como: Como a força é variável durante a colisão podemos determiná-la integrando a expressão: Colisões Simples • Esta expressão nos mostra que a variação do momento entre os instantes i e f são iguais tanto a intensidade quanto a duração da força da colisão, conhecido como impulso (J). ou • Calculando a força media com a qual a colisão acontece temos que o impulso será: Colisões em Série Em diversas colisões com projeteis de momentos iguais sobre um mesmo alvo é certo que o impulso total destes projeteis é no intervalo de tempo t é n.p. Pela 3ª lei de Newton a força a que o alvo é submetido tem modulo igual a dos projeteis e portanto o impulso sofrido pelo alvo também é igual ao dos projeteis porem com sentido oposto: Combinando as duas ultimas equações temos que: Colisões em Série • Se os projeteis param após a colisão a variação da velocidade é: v = Vf – Vi = 0 – V = -V • Se porem o projétil ricocheteia e volta com a mesma velocidade em sentido oposto a variação da velocidade é: v = Vf – Vi = -V – V = - 2V • Num intervalo de tempo t há a colisão de n projeteis de massa m, sendo m = nm a variação desta massa no decorrer do tempo. Sendo Fméd : Conservação do momento linear • Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total P do sistema não pode variar. Ou seja em um sistema isolado o momento se conserva. EXEMPLO: EXEMPLO 2 Momento e Energia Cinética em Colisões (elásticas) • Em uma colisão elástica o momento total do sistema é conservado de tal forma que tendo um sistema fechado e isolado de forças externas podemos admitir que em todo o percurso o momento total sempre será o mesmo. Neste caso o projétil retorna com a mesma velocidade que estava antes do choque. Momento e Energia Cinética em Colisões (inelásticas) • Já em colisões inelásticas o momento total não é conservado de forma que parte da energia sempre é transformada em outra forma de energia tal como térmica, sonora, etc. • O caso desta colisão ocorre quando toda a energia cinética do projétil é perdida na colisão. Essas colisões são conhecidas como colisões perfeitamente elásticas. EXEMPLO Colisões projétil & alvo • Com alvo estacionário: • Alvo em movimento: Colisões em duas dimensões • Nem sempre as colisões são frontais, e não sendo frontal a direção do movimento depois do choque não é igual a direção de antes, porem mesmo assim, sendo um sistema isolado de forças externas o momento das partículas são conservados
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