Tabela verdade ou tabela de verdade é uma ferramenta de natureza matemática muito utilizada no campo do raciocínio lógico. Seu objetivo é verificar a validade lógica de uma proposição composta (argumento formado por duas ou mais proposições simples).
Exemplos de proposições compostas:
- João é alto e Maria é baixa.
- Pedro é alto ou Joana é loira.
- Se Pedro é alto, então Joana é ruiva.
Cada uma das proposições compostas acima são formadas por duas proposições simples unidas pelos conectivos em negrito. Cada proposição simples pode ser verdadeira ou falsa e isso implicará diretamente no valor lógico da proposição composta. Se adotarmos a frase “João é alto e Maria é baixa”, as possíveis valorações dessa afirmação serão:
- Se João for alto e Maria for baixa, a frase “João é alto e Maria é baixa” é VERDADEIRA.
- Se João for alto e Maria não for baixa, a frase “João é alto e Maria é baixa” é FALSA.
- Se João não for alto e Maria for baixa, a frase “João é alto e Maria é baixa” é FALSA.
- Se João não for alto e Maria não for baixa, a frase “João é alto e Maria é baixa” é FALSA.
A tabela verdade esquematiza esse mesmo raciocínio (ver o tópico Conjunção abaixo) de forma mais direta. Além disso, as regras da tabela verdade podem ser aplicadas independente do número de proposições na frase.
Como funciona?
Primeiramente, transformar-se as proposições da questão em símbolos utilizados na lógica. A lista de símbolos universalmente usada é:
| p | . | Proposição 1 | p = João é alto. |
| q | . | Proposição 2 | q = Maria é baixa. |
| ~ | Negação | não | Se João é alto, "~p" é FALSO. |
| ^ | Conjunção | e | p^q = João é alto e Maria é baixa. |
| v | Disjunção | ou | pvq = João é alto ou Maria é baixa. |
| → | Condicional | se...então | p→q = Se João é alto então Maria é baixa. |
| ↔ | Bicondicional | se e somente se | p↔q = João é alto se e somente se Maria é baixa. |
Em seguida, monta-se uma tabela com todas as possibilidades de valoração de uma proposição composta, substituindo as afirmações por símbolos. Vale esclarecer que nos casos em que existirem mais de duas proposições, elas poderão ser simbolizadas pelas letras r, s, e assim em diante.
Por fim, aplica-se a operação lógica definida pelo conectivo mostrado. Conforme a lista acima, essas operações podem ser: negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Negação
A negação é simbolizada por ~. A operação lógica da negação é a mais simples e muitas vezes dispensa o uso da tabela verdade. Seguindo o mesmo exemplo, se João é alto (p) dizer que João não é alto (~p) é FALSO, e vice-versa.
Conjunção
A conjunção é simbolizada por ^. O exemplo "João é alto e Maria é baixa" será simbolizado por "p^q" e a tabela verdade será:
A conjunção sugere uma ideia de acumulação, portanto, se uma das proposições simples for falsa, é impossível que a proposição composta seja verdadeira.
Conclusão: as proposições compostas conjuntivas (que contenham o conectivo e) só serão verdadeiras quando todos os seus elementos forem verdadeiros.
Exemplo:
"Paulo, Renato e Túlio são gentis e Carolina é engraçada."
- Se Paulo, Renato ou Túlio não forem gentis ou Carolina não for engraçada, a proposição será FALSA. É necessário que todas as informações sejam verdadeiras para que a proposição composta seja VERDADEIRA.
Disjunção
A disjunção é simbolizada por v. Trocando o conectivo do exemplo acima para ou teremos "João é alto ou Maria é baixa". Nesse caso, a frase será simbolizada por "pvq" e a tabela verdade será:
A disjunção implica uma ideia de alternância, portanto, basta que uma das proposições simples seja verdadeira para que a composta também seja.
Conclusão: as proposições compostas disjuntivas (que contenham o conectivo ou) só serão falsas quando todos os seus elementos forem falsos.
Exemplo:
"Minha mãe, meu pai ou meu tio me darão um presente."
- Para que a afirmação seja VERDADEIRA, basta que apenas um entre a mãe, pai ou tio dê o presente. A proposição só será FALSA caso nenhum deles o dê.
Condicional
A condicional é simbolizada por →. É expressa pelos conectivos se e então, que interligam as proposições simples em uma relação de causalidade. O exemplo "Se Paulo é carioca, então ele é brasileiro" se torna "p→q" e a tabela verdade será:
As condicionais possuem uma proposição antecedente e outra consequente, separadas pelo conectivo então. Na análise das condicionais, é necessário avaliar quais os casos em que a proposição pode ser possível, considerando a relação de implicação entre a antecedente e a consequente.
Conclusão: As proposições compostas condicionais (que contenham os conectivos se e então) só serão falsas se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa.
Exemplo:
"Se Paulo é carioca, então ele é brasileiro."
- Para que esta proposição seja considerada VERDADEIRA, é necessário avaliar os casos em que ela é POSSÍVEL. De acordo com a tabela verdade acima, temos:
1. Paulo é carioca / Paulo é brasileiro = POSSÍVEL
2. Paulo é carioca / Paulo não é brasileiro = IMPOSSÍVEL
3. Paulo não é carioca / Paulo é brasileiro = POSSÍVEL
4. Paulo não é carioca / Paulo não é brasileiro = POSSÍVEL
Bicondicional
A bicondicional é simbolizada por ↔. É lida através dos conectivos se e somente se, que interligam as proposições simples em uma relação de equivalência. O exemplo "João fica feliz se e somente se Maria sorri." se torna "p↔q" e a tabela verdade será:
As bicondicionais sugerem uma ideia de interdependência. Como o próprio nome demonstra, a bicondicional é composta por duas condicionais: uma que parte de p para q (p→q) e outra no sentido contrário (q→p).
Conclusão: As proposições compostas bicondicionais (que contenham os conectivos se e somente se) só serão verdadeiras quando todas as proposições forem verdadeiras, ou todas as proposições forem falsas.
Exemplo:
"João fica feliz se e somente se Maria sorri."
- Significa dizer que:
1. Se João fica feliz, Maria sorri e se Maria sorri, João fica feliz = VERDADEIRO
2. Se João não fica feliz, Maria não sorri e se Maria não sorri, João não fica feliz = VERDADEIRO
3. Se João fica feliz, Maria não sorri = FALSO
4. Se João não fica feliz, Maria sorri = FALSO
Resumo geral
É comum que os estudiosos da tabela verdade memorizem as conclusões de cada uma das operações lógicas. Para economizar tempo na resolução de questões, tenha sempre em mente que:
- Proposições Conjuntivas: Só serão verdadeiras quando todos os elementos forem verdadeiros.
- Proposições Disjuntivas: Só serão falsas quando todos os elementos forem falsos.
- Proposições Condicionais: Só serão falsas quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa.
- Proposições Bicondicionais: Só serão verdadeiras quando todos os elementos forem verdadeiros, ou todos os elementos forem falsos.