a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais.
Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos;
P3 = 3! = 3.2.1 =6
Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra.
_____ _____ _____ _____ _____
Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras.
_____ _____ _____ _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações.
Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos.
U _ __E _ _____ _____ _____;
_____ U _ E _ _____ _____;
_____ _____ U _ E
_ _____;
_____ _____ _____ U _ E _;
Ou seja, 4 possibilidades.
Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades.
Possibilidades = 4.P2 .P3
P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E)
Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48
b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos.
Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra.
PEL ____ ____
____ PEL ____
____ ____ PEL
Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra.
Possibilidades = 3.P2
P2 = Permutação das letras (UF)
Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6
Temos então 6 possibilidades.
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Exercícios de Matemática
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Anagramas e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
questão 1
Na criação da senha de uma conta bancária, o cliente é informado que deve ser feita uma combinação de seis números sem repetição. Os números utilizados devem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Determine o número possível de senhas que podem ser criadas.
questão 2
Em uma empresa de informática, o código de acesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letras e quatro números, sem repetição. Sabendo que o código pode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro números entre 10 algarismos, determine o possível número de códigos que podem ser criados.
questão 3
Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança como a quantidade possível de senhas, determine em quantos por cento o nível de segurança aumentou?
questão 4
(FUVEST – 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
respostas
Questão 1
10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151200
Podem ser criadas 151 200 senhas de algarismos distintos.
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Questão 2
Letras → 26 * 25 * 24 = 15 600
Números → 10 * 9 * 8 * 7 = 5 040
Total de códigos → 15 600 * 5 040 = 78.624.000
O número de códigos de acesso que podem ser criados atendendo à restrição, corresponde a 78.624.000.
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Questão 3
Senhas de 4 algarismos → 10 * 10 * 10 * 10 = 104 = 10 000
Senhas de 5 algarismos → 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 105 = 100 000
A segurança aumentou em:
O nível de segurança do site aumentou em 900%.
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Questão 4
Total de
senhas
5 * 5 * 5 * 5 = 625
Senhas que aparecem o número 13
3 * 5 * 5 = 75
1 | 3 | ||
1 | 3 | ||
1 | 3 |
A senha 1313 foi verificada em
Deste modo, aparece duas vezes, quando deveria aparecer só uma, logo, serão 74 possibilidades de aparecer os algarismos 1 e 3 seguidos.
O número possível de senhas que atende à situação proposta e à superstição de Maria é:
625 – 74 = 551 combinações possíveis.
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