Probabilidade e Fenómenos Aleatórios
Probabilidade
A probabilidadeé uma ferramenta matemática usada para estudar a aleatoriedade e fornecer previsões sobre a possibilidade de algo acontecer.
- Abreviaturas:
- A probabilidade é abreviada como P(evento).
- Exemplo: P(A) refere-se à probabilidade do evento A acontecer.
- Os tipos de probabilidade incluem:
- Probabilidade teórica: modelos matemáticos e não observações
- Frequência relativa: observações e/ou medições
- Probabilidade pessoal ou subjetiva: nada além de sentimentos pessoais
Exemplo de probabilidade:
Se você jogar uma moeda equilibrada, a probabilidade teórica de cara em qualquer lance é de 50%.
Lei dos grandes números (LGN)
- Quando um evento é repetido várias vezes, a proporção de vezes que o evento resulta num determinado resultado estabelecer-se-á em torno de um número específico.
- Esse número específico é a probabilidade do resultado.
- Refere-se a resultados a longo prazo (em vez de resultados a curto prazo)
Exemplo de resultados a curto prazo versus resultados a longo prazo:
Se você jogar uma moeda equilibrada, há 50% de chance de obter cara em qualquer lance. Se você lançar 10 caras seguidas, isso não aumenta a chance de obter cara no próximo lance (um resultado a curto prazo). A LGN significa que, num grande número de lançamentos de moedas, a frequência de obter caras será próxima de 50%.
Atribuição de probabilidade
- Se a probabilidade de um evento = 0, o evento nunca ocorrerá.
- Se a probabilidade de um evento = 1, o evento ocorrerá sempre.
- A probabilidade de um evento acontecer pode ser distribuída entre os possíveis resultados associados a ele.
- A soma da probabilidade de todos os resultados é 1.
A probabilidade de um evento (A) acontecer está entre 0 (certeza absoluta de que não ocorrerá) e 1 (certeza absoluta de sua ocorrência):
$$ 0\leq P(A)\leq 1 $$
A soma de todas as probabilidades de todos os resultados possíveis num espaço amostral é 1:
$$ P(S) = 1 $$
Fenómenos aleatórios
Fenómenos aleatórios são situações em que os resultados possíveis são conhecidos, mas o que acontecerá é desconhecido.
- Podem ser observados durante o que é conhecido como ensaios, onde os resultados ocorrem.
- Espaço amostral: o conjunto de todos os resultados possíveis
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Regras Básicas de Probabilidade
A regra do complemento
Alguns eventos têm apenas 2 resultados possíveis: o evento A ocorre ou o evento A não ocorre. O complemento do evento A é que o evento A não ocorre e é representado como A (ou AC). A probabilidade de A ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade do próprio evento (A).
$$ P(A^{C}) = 1 – P(A) $$
Um diagrama de Venn que ilustra a regra do complemento:
A caixa cinzenta inteira representa o espaço amostral, que é igual a 1. O evento A representa uma parte da caixa e a não ocorrência do evento A representa a parte restante do espaço amostral. Da palestra “Introduction to Probability”
Exemplo: Você tem uma chance de 1 em 4 de tirar uma carta de paus de um baralho de cartas padrão. Qual é a probabilidade de você não tirar uma carta de paus?
Resposta: Neste exemplo, tirar uma carta de paus é o evento A e não tirar uma carta de paus é A. Se a chance de tirar uma carta de paus é 0,25, então A = 1 ‒ 0,25, que é 0,75.
Regra de eventos mutuamente exclusivos
Se 2 ou mais eventos não podem ocorrer simultaneamente, são chamados de eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos. Embora não seja possível que os 2 eventos disjuntos ocorram simultaneamente, é possível que nenhum deles ocorra.
Um diagrama de Venn ilustrando a regra dos eventos mutuamente exclusivos:
A área da caixa representa todo o
espaço amostral, que é igual a 1. O círculo A representa a probabilidade do evento A ocorrer e o círculo B representa a probabilidade do evento B ocorrer.
Os círculos não se sobrepõem, indicando que são mutuamente exclusivos e não podem ocorrer simultaneamente. É possível, no entanto, que nenhum dos eventos ocorra. Observe como eles não se sobrepõem.
Quando 2 eventos (A e B) são mutuamente exclusivos (ou disjuntos), a probabilidade de ocorrência de A ou B é a soma da probabilidade de cada evento.
$$ P(A\cup B) = P(A) + P(B) $$
Esta regra pode ser aplicada a qualquer número de eventos disjuntos. Por exemplo, para encontrar a probabilidade de ocorrência de A, B ou C, você pode simplesmente adicionar P(A) + P(B) + P(C), supondo que todos os 3 sejam eventos completamente mutuamente exclusivos.
Exemplo 1:
- Você chega a um semáforo. Há 35% de probabilidade de você se aproximar da luz enquanto ela estiver verde, 5% de probabilidade de você se aproximar da luz enquanto ela estiver amarela e 60% de probabilidade de você se aproximar da luz enquanto ela estiver vermelha. Quando você para num semáforo, qual é a chance de o semáforo estar verde ou amarelo?
- Resposta: Como a luz não pode estar verde e amarela ao mesmo tempo neste exemplo, existem apenas 3 possibilidades: P(verde) pode ser simplesmente adicionada a P(amarelo), que é 0,35 + 0,05 = 0,4. Assim, a chance de a luz ser verde ou amarela é de 40%.
Exemplo 2:
- Você tem um baralho de cartas padrão. Qual é a probabilidade de tirar uma carta de paus, espadas ou copas?
- Resposta: A carta que você tirar terá apenas 1 dos 4 naipes de cada vez; assim, estes são todos eventos mutuamente exclusivos. Portanto, P(paus) + P(espadas) + P(copas) = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75. Há uma probabilidade de 75% de você tirar um paus, espadas ou copas.
A regra de multiplicação para eventos independentes
Os eventos são independentes quando a probabilidade de um não afeta a do outro (Nota: eventos mutuamente exclusivos não podem ser eventos independentes (Exemplo 2)). A probabilidade de 2 eventos independentes ocorrerem é igual ao produto das probabilidades dos eventos A e B.
$$ P(A\cap B) = P(A)P(B) $$
Exemplo 1:
- O evento A é a probabilidade de tirar uma carta de paus de um baralho de cartas, que é 13/52, ou 0,25. O evento B é a probabilidade de tirar uma carta com uma figura, que é 12/52, ou 0,23. Qual é a probabilidade de tirar uma carta de paus que também é uma carta com uma figura?
- Resposta: Estes 2 eventos são independentes um do outro (a probabilidade de tirar uma carta de paus não tem efeito sobre a probabilidade de tirar uma carta com uma figura); assim, as probabilidades podem simplesmente ser multiplicadas. 0,25 x 0,23 = 0,057 ou 5,7% (que é 3/52, representando o Rei, a Dama e o Valete de Paus).
Exemplo 2: Eventos mutuamente exclusivos não podem ser independentes uns dos outros
- Eventos mutuamente exclusivos são 2 eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo: por exemplo, um semáforo não pode estar vermelho e verde ao mesmo tempo. Se a luz estiver verde, não pode estar também vermelha.
- Eventos independentes podem acontecer simultaneamente: por exemplo, uma carta pode ser tanto de paus quanto uma carta com figura.
Regra geral de adição
A probabilidade de acontecer um evento (A), ou outro evento (B), ou ambos é dada pela equação:
$$ P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) $$
Um diagrama de Venn que ilustra a regra geral de adição de probabilidades:
A área de toda a caixa cinzenta representa todo o espaço amostral, que é igual a 1. Há um círculo que encapsula a probabilidade do evento A ocorrer (verde) e outro para o evento B (vermelho). A área onde eles se sobrepõem representa a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem simultaneamente.
Portanto, se você
simplesmente adicionasse a área do círculo verde à do círculo vermelho, a área sobreposta seria contada duas vezes. Visualmente, a probabilidade total de A, B ou ambos ocorrerem pode ser representada como P(A) + [P(B) ‒ P(A&B)].
Exemplo: Você tem uma pilha de dinheiro com 4 notas: $ 1, $ 5, $ 10 e $ 20. O evento A representa tirar uma nota ímpar; o evento B representa tirar uma nota entre $ 4 e $ 12. Qual é a probabilidade de acontecer A ou B?
Resposta: Observe que $5 está em ambos os eventos; portanto, não são mutuamente exclusivos ou disjuntos. Assim, não podemos simplesmente somar P(A) + P(B), pois teremos contado a probabilidade de ser tirada uma nota de $5 (P($5)) duas vezes. Devemos, portanto, subtrair P($5) para que seja contada apenas uma vez no final. Se as chances de tirar cada nota são as mesmas, então a probabilidade de tirar cada nota individual é de 1 em 4, ou 25%.
Então, para responder à nossa pergunta, primeiro podemos calcular P(A), que é igual a P($1) + P($5) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Da mesma forma, P(B) = P($5) + P($10) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Sabemos que P($5) por si só é 0,25. Então, no geral, 0,5 + 0,5 ‒ 0,25 = 0,75, o que representa 3 das 4 notas (as notas de $ 1, $ 5 e $ 10, que estão todas incluídas no evento A ou B).
Armadilhas
- Cuidado com probabilidades que somadas não são 1.
- Não some probabilidades de eventos se eles não forem mutuamente exclusivos.
- Não multiplique probabilidades de eventos se eles não forem independentes.
- Eventos mutuamente exclusivos não podem ser independentes.
- Não use a LGN para descrever eventos a curto prazo.
- Considere se é razoável supor que os eventos são independentes.