De quantas maneiras distintas podemos arrumar em uma prateleira 5 livros diferentes

Heitor está brincando com os seus carrinhos, os enfileirando de maneiras distintas. Sabendo que ele está brincando com 4 carrinhos, de quantas maneiras distintas ele pode enfileirá-los?

a) 4

b) 8

c) 16

d) 24

e) 120

Márcio decidiu listar os 10 documentários que ele deseja assistir na próxima semana, sendo que ele assistirá 2 por dia, de segunda a sexta-feira. Eles podem ser vistos em ordem aleatória, exceto o documentário sobre sereias, que tem os segmentos 1 e 2. Márcio assistirá a ambos no mesmo dia, nessa ordem. O número de maneiras distintas que Márcio pode ver esses documentários de forma que ele assistirá obrigatoriamente aos documentários sobre sereias no mesmo dia é igual a:

a) \(8!\cdot5\)

b) \(9!\)

c) \(10!\)

d) \(9!\cdot2\)

e)\(8!\cdot2!\)

Durante a expedição de uma empresa de peças automotivas, um entregador fará a entrega de 5 encomendas. Para uma delas, o cliente pediu urgência, e a empresa resolveu atender a esse pedido. Já as demais serão feitas todas em pontos diferentes da cidade. Logo, o entregador tem liberdade para fazer a rota de entrega dos demais pedidos. Diante disso, de quantas maneiras distintas essa entrega pode ser feita?

A) 16

B) 24

C) 25

D) 120

E) 720

Quantos números de algarismos distintos é possível formar com os algarismos ímpares 1, 3, 5, 7, 9?

A) 6

B) 16

C) 24

D) 120

E) 720

Kárita decidiu organizar a sua estante de livros. Ela possui 6 livros, todos distintos entre si, sendo que 2 possuem capas na cor azul, 3 possuem capas na cor branca e o outro possui capa na cor vermelha. De quantas maneiras distintas ela pode ordenar os seus livros de modo que livros de uma mesma cor fiquem sempre lado a lado?

A) 10 maneiras

B) 18 maneiras

C) 24 maneiras

D) 36 maneiras

E) 72 maneiras

Um grupo composto por 8 pessoas, sendo 4 casais, decidiu ir ao cinema no domingo. Sabendo que eles compraram 8 cadeiras sequenciais pertencentes a uma mesma fileira, de quantas maneiras distintas esses indivíduos podem se sentar de forma que duas pessoas de um mesmo casal sempre fiquem lado a lado?

A) 4! ⋅ \(2^4\)

B) 8!

C) 4!⋅ 2

D) 4! ⋅ 4

E) 8! ⋅ 2

O número de anagramas possíveis que podemos fazer com o nome BRASIL pode ser calculado por:

A) \(P_5\)

B)\({\ C}_1^6\)

C)\({\ P}_6\)

D)\({\ A}_{6,1}\)

E)\({\ P}_6^{3,2}\)

Resolvendo a operação entre as permutações a seguir

\(P_6-\ P_5-P_3\)

encontramos como resposta:

A) 832

B) 720

C) 620

D) 597

E) 594

O total de anagramas que podemos formar com o nome GOIANIA é igual a

A) 800

B) 1022

C) 1260

D) 2520

Durante um torneio intercolegial, o time vencedor conseguiu obter 6 vitórias, 3 empates e 1 derrota. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter acontecido?

A) 5040

B) 2520

C) 1260

D) 630

E) 315

(Enem Digital 2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as 7 letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @.

O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.

Ele sabe que o e-mail já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.

De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?

A) 59

B) 60

C) 118

D) 119

E) 120

Resolvendo a operação

\(\frac{P_5P_4}{P_6}\)

encontraremos:

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

Alternativa D

Temos uma permutação simples de 4 elementos:

\(P_4=4!\)

\(P_4=4\cdot3\cdot2\cdot1\)

\(P_4=24\)

Logo, há 24 maneiras distintas de enfileirar os carrinhos.

Alternativa A

Como há dois documentários que serão assistidos em um único dia nessa ordem, primeiramente escolheremos os outros 8 documentários, com \(P_8=8!\) Além disso, há 5 opções para que ele assista o documentário de sereia, pois ele escolherá 1 entre os 5 dias para assistir os segmentos 1 e 2, nessa ordem. Então, o total de maneiras possíveis pode ser calculado por \(8!\cdot5\).

Alternativa B

O entregador tomará a decisão das outras 4 entregas, já que a primeira será a do cliente que pediu urgência.

Nesse caso, basta calcular a permutação de 4 elementos:

\(P_4=4!\ \)

\(P_4=4\cdot3\cdot2\cdot1\)

\(P_4=24\)

Alternativa D

Como há 5 algarismos, basta calcularmos a permutação de 5 elementos:

\(P_5=5!\)

\(P_5=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\)

\(P_5=120\)

Alternativa E

Primeiramente, calcularemos a permutação entre as cores dos livros.

Como há 3 cores, temos \(P_3\). Como podemos definir a ordem dos livros em relação a uma mesma cor, o número de maneiras distintas para ordenar essa estante é:

\(P_3\cdot P_2\cdot P_3\cdot P_1\)

\(3!\ \cdot2!\ \cdot3!\ \cdot1\)

\(3\ \cdot2\ \cdot1\ \cdot2\ \cdot1\ \cdot3\ \cdot2\ \cdot1\ \cdot1\)

72 maneiras

Alternativa A

De início, escolheremos a ordem dos casais. Como há 4 casais, temos uma permutação de 4 elementos. Um casal pode se sentar de duas maneiras distintas, sendo AB ou BA. Logo, o número de maneiras que esses casais podem se sentar é dado por:

\(P_4\cdot2^4\)

\(4!\cdot2^4\)

Alternativa C

Como o nome BRASIL possui 6 letras e nenhuma repetição, para calcular o total de anagramas basta calcularmos \(P_6\).

Alternativa E

Calculando a operação, temos:

\(P_6-\ P_5-P_3=6!-\ 5!-3!\)

\(P_6-P_5-P_3=720-120-6\)

\(P_6-P_5-P_3=594\)

Alternativa C

Nesse caso, temos uma permutação com repetição, pois o A se repete 2 vezes e o I se repete 2 vezes. Logo, temos que:

\(P_7^{2,2}=\frac{7!}{2!2!}\)

\(P_7^{2,2}=\frac{7\bullet6\bullet5\bullet4\bullet3\bullet2!}{2!2!}\)

\(P_7^{3,2}=\frac{7\bullet6\bullet5\bullet4\bullet3}{2}\ =1260\)

Há 1260 anagramas possíveis.

Alternativa B

Calcularemos a permutação de 10 elementos com a repetição de 6 vitórias e 3 empates:

\(P_{10}^{6,2}=\frac{10!}{6!2!}\)

\(P_{10}^{6,2}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!2!}\)

\(P_{10}^{6,2}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{2}\)

\(P_{10}^{6,2}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{2}\)

\(P_{10}^{6,2}=2520\)

Alternativa D

Como “edu” sempre estará junto, na verdade estamos escolhendo a posição de 5 elementos: “edu”, “a”, “r”, “d” e “o”. Assim, faremos uma permutação de 5.

\(P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)

Vale lembrar que o e-mail que começa com “eduardo” já está sendo usado, então há 120 – 1 = 119 opções distintas de e-mail.

Alternativa B

Calculando:

\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{5!4!}{6!}\)

\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{5!4!}{6\cdot5!}\)

\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{5!4!}{6\cdot5!}\)

\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{4!}{6}\)

\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{4\bullet3\bullet2\bullet1\ }{6}\)

\(\frac{P_5P_4}{P_6}=4\)

Quantos modos é possível colocar em uma prateleira 5 livros distintos de Matemática 3 diferentes de física e 2 diferentes de inglês?

Quantas maneiras distintas podemos arrumar em uma prateleira 6 livros diferentes?

Tem