Qual a diferença entre progressão aritmética e progressão geométrica

A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos.

A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.

Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da sequência, obtendo assim o termo sucessor.

Confira a seguir um resumo sobre os dois tipos de progressões.

Progressão aritmética (PA)

Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por:

Onde,

r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:

Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:

an = a1 + (n – 1) r

Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Tipos de PA

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:

1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.

Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0

2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;

Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2

3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.

Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2

As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.

Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:

Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.

Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:

Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.

Termo médio da PA

Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):

Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do antecessor e do sucessor.

Exemplo resolvido

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PA

2. Termo médio

3. Soma dos termos

Saiba mais sobre a progressão aritmética.

Progressão geométrica (PG)

Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:

Onde,

q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:

Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).

Tipos de PG

De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:

1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0 < q < 1 e termos negativos;

Exemplos:
PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.
PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3

2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0 < q < 1 e os termos positivos;

Exemplo:
PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3
PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3

3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números negativos e positivos;

Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2

4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.

Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:

Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.

Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos termos.

Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0 < q < 1 , a fórmula utilizada é:

Termo médio da PG

Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):

Exemplo resolvido

Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PG

2. Termo médio

3. Soma dos termos

Saiba mais sobre a progressão geométrica.

Resumo das fórmulas de PA e PG

Saiba mais sobre as sequências numéricas.

Exercícios sobre PA e PG

Questão 1

Qual o 16º termo da sequência que inicia com o número 3 e tem razão da PA igual a 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Ver Resposta

Alternativa correta: d) 63.

Como a razão de uma PA é constante, podemos encontrar o segundo termo da sequência ao somar a razão com o primeiro número.

a2 = a1 + r

a2 = 3 + 4

a2 = 7

Portanto, podemos dizer que essa sequência é formada por (3, 7, 11, 15, 19, 23, …)

O 16º termo pode ser calculado com a fórmula do termo geral.

an = a1 + (n - 1) . r

a16 = 3 + (16 – 1) . 4

a16 = 3 + 15.4

a16 = 3 + 60

a16 = 63

Sendo assim, a resposta da questão é 63.

Questão 2

Qual a razão de uma PA de seis termos, cuja soma dos três primeiros números da sequência é igual a 12 e dos dois últimos é igual a – 34?

a) 7
b) – 6
c) – 5
d) 5

Ver Resposta

Alternativa correta: b) – 6.

A fórmula geral dos termos de uma progressão aritmética é a1, (a1 + r), (a1 + 2r), ..., {a1 + (n-1) r}. Portanto, a soma dos três primeiros termos pode ser escritos da seguinte forma:

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 12
3a1 + 3r = 12
3a1 = 12 – 3r
a1 = (12 – 3r)/3
a1 = 4 – r

E a soma dos dois últimos termos é:

(a1 + 4r) + (a1 + 5r) = – 34
2a1 + 9r = – 34

Agora, substituímos a1 por 4 – r.

2(4 – r) + 9r = – 34
8 – 2r + 9r = – 34
7r = – 34 – 8
7r = – 42
r = – 42/7
r = – 6

Portanto, a razão da PG é - 6.

Questão 3

Se o terceiro termo de uma PG é 28 e o quarto termo é 56 quais são os 5 primeiros termos dessa progressão geométrica?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Ver Resposta

Alternativa correta: d) 7, 14, 28, 56, 112

Primeiramente, devemos calcular a razão dessa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula:

a4 = a3 . q
56 = 28 . q
56 / 28 = q
q = 2

Agora, calculamos os 5 primeiros termos. Começaremos por a1 utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q(n-1)
a3 = a1 . q(3-1)
28 = a1 . 22
a1 = 28/ 4 = 7

Os demais termos podem ser calculados multiplicando o termo antecedente pela razão.

a2 = a1.q
a2 = 7 . 2
a2 = 14

a5 = a4 . q
a5 = 56 . 2
a5 = 112

Portanto, os 5 primeiros termos da PG são:

1º termo: 7
2º termo: 14
3º termo: 28
4º termo: 56
5º termo: 112

Veja também outros exercícios para continuar praticando:

• Exercícios sobre PA e PG
• Exercícios sobre Progressão Aritmética
• Exercícios sobre Progressão Geométrica

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

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