Figuras semelhantes são aquelas que possuem ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes proporcionais. Essa proporção entre os lados e a semelhança entre as figuras garantem também a existência de uma propriedade envolvendo suas áreas. Para compreender melhor essa propriedade, é necessário relembrar o conceito de razão de semelhança.
Razão de semelhança
A razão de semelhança é o resultado da divisão entre as medidas de um lado da primeira figura e o lado correspondente a ele da segunda figura. Isso só vale para figuras que são semelhantes. Os hexágonos regulares, representados a seguir, são exemplos de figuras semelhantes:
Nessas figuras, a razão entre o lado AB e o lado GH é igual a 0,5. A razão entre os lados FE e LK também é 0,5, pois esses lados são correspondentes.
Áreas de figuras semelhantes
Suponha que as áreas de duas figuras sejam representadas por A1 e A2 e que essas figuras sejam semelhantes. Suponha também que L é a razão de semelhança entre as duas figuras, ou seja, L é o resultado da divisão entre dois lados correspondentes dessas duas figuras.
Nessa hipótese, a razão entre a área das figuras será igual ao quadrado da razão de semelhança, o que pode ser representado matematicamente da seguinte forma:
L2
= A1
A2
Toda vez que dividimos as medidas de dois lados correspondentes de dois polígonos semelhantes o resultado é a razão de semelhança L. Se dividirmos as áreas desses mesmos polígonos, o resultado será L2.
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1º Exemplo – Dados os polígonos semelhantes a seguir, determine a área do segundo polígono, sabendo
que a razão de semelhança entre eles é dois e que a área do polígono menor mede 4 cm2.
Solução:
Quando a razão de semelhança é maior que um, significa que a maior medida foi dividida pela menor medida. Assim, podemos substituir os valores dados da área de uma das figuras e da razão de semelhança na fórmula abaixo:
L2 = A1
A2
22 = A1
4
4·22 = A1
4·4 = A1
16 = A1
A1 = 16 cm2
Lembre-se que 4 cm2 é o denominador porque a razão de proporcionalidade é maior que um. Caso contrário, seria numerador.
2º Exemplo – Qual a razão de semelhança entre dois polígonos cujas áreas são, respectivamente, iguais a 16 cm2 e 100 cm2?
Solução:
Geralmente, as razões de semelhança são números menores que um, portanto, a fração que origina essa razão deve ser estruturada com o menor número no numerador. Isso não é uma regra, é apenas o mais usual nesse conteúdo.
Uma segunda observação importante é a seguinte: não se esqueça de que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, portanto:
L2 = A1
A2
L2 = 16
100
L = √16
√100
L = 4
10
L = 0,4
Área e perímetro são cálculos importantes no estudo de figuras planas. Conhecemos como área a medida da superfície da figura; já o perímetro é o comprimento do contorno da figura, e o seu valor é encontrado quando calculamos a soma de todos os lados da figura. Quando estudamos os polígonos, que são casos particulares de figuras planas, para encontrar o seu perímetro, basta realizar a soma do comprimento de todos os lados, enquanto a área é calculada por fórmulas específicas para cada polígono.
A área e o perímetro de uma figura são muito úteis na construção civil, em plantações, e também para termos noção do tamanho de superfícies no dia a dia, havendo diversas aplicações desses conceitos.
Leia mais: Diferenças entre figuras planas e figuras espaciais
Resumo sobre área e perímetro
A área é uma grandeza igual à medida da superfície de uma figura plana.
Cada figura plana possui uma fórmula específica para o cálculo da área.
As principais fórmulas de área são:
O perímetro é igual à soma do comprimento de todos os lados de uma figura plana.
O que é área?
A área é uma grandeza importante da geometria. Dada uma figura geométrica, a área é a medida de superfície dessa figura. Para calcular a área das figuras planas, utilizamos fórmulas específicas para cada uma delas, quando necessário, dividimos a figura plana em figuras planas conhecidas e somamos as áreas. Vejamos, a seguir, as principais figuras planas e a fórmula para calcular a área de cada uma.
Videoaula sobre área das figuras planas
Área de um paralelogramo
Conhecemos como paralelogramos as figuras planas que possuem lados opostos paralelos. Para calcular a área de um paralelogramo qualquer, multiplicamos a sua base pela sua altura.
Existem casos particulares de paralelogramo, são eles o quadrado, o retângulo e o losango. Os dois primeiros possuem fórmulas parecidas para o cálculo de área, já o losango usa uma fórmula um pouco diferente, mas que é deduzida da fórmula da área do paralelogramo.
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Área de retângulo
O retângulo é um caso particular de paralelogramo, pois ele possui todos os ângulos internos retos. Para calcular a sua área, utilizamos a mesma fórmula do paralelogramo, a diferença é que um dos seus lados coincide com a sua altura.
Área do quadrado
O quadrado também é um caso particular de paralelogramo. Além de possuir um ângulo reto, o quadrado possui todos os lados congruentes. Para calcular a sua área, multiplicamos a sua base e a sua altura, e, como os lados são congruentes, calculamos o quadrado da medida do lado.
Área do losango
Diferentemente dos anteriores, para calcular a área de um losango, é necessário conhecer o comprimento das suas diagonais. O losango possui duas diagonais: a diagonal maior D e a diagonal menor d. Para saber a sua área, calculamos o produto entre as diagonais e dividimos por 2.
Área do triângulo
O triângulo não é um paralelogramo, mas, ainda assim, é uma figura plana muito importante. Conhecemos como triângulo a figura plana que possui três lados, e, para saber a área de um triângulo, calculamos o produto entre a sua base e a sua altura e dividimos por 2.
Área do trapézio
O trapézio é uma figura plana que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos. Os lados paralelos são chamados de base maior B e base menor b, e, para calcular a sua área, utilizamos a seguinte fórmula:
Caso queira saber mais sobre o tema deste tópico, leia: Área do trapézio.
Área do círculo
O círculo também é uma figura plana muito importante, e, para calcular a sua área, é necessário conhecer o valor do seu raio.
O que é perímetro?
O perímetro de uma figura plana é igual à soma do comprimento de todos os lados dela. Assim, ainda que exista fórmula para algumas figuras planas, basta lembrar que a soma dos seus lados resulta no seu perímetro.
Como calcular o perímetro
O perímetro é sempre igual à soma de todos os lados da figura plana, então, em algumas figuras planas, é possível utilizar uma fórmula nesse sentido. Vejamos o perímetro das principais figuras planas.
Perímetro do paralelogramo e do retângulo
Para calcular o perímetro do paralelogramo e do retângulo, utilizamos a mesma fórmula. Como eles possuem lados opostos congruentes, podemos calcular a soma dos seus lados utilizando a fórmula a seguir:
Perímetro do quadrado e do losango
O quadrado e o losango possuem todos os lados congruentes, então, para calcular o perímetro dessas figuras planas, basta multiplicar o comprimento do seu lado por 4.
Perímetro do triângulo
O triângulo não possui fórmula específica. Para calcular o seu perímetro, basta realizar a soma dos seus lados. Assim como no trapézio, não existe fórmula específica para essa figura:
Exercícios resolvidos sobre área e perímetro
Questão 1
Um terreno possui formato de um trapézio, com base maior medindo 10 metros e base menor medindo 6 metros. Sabendo que a altura desse terreno é de 8 metros, então a sua área é igual a:
A) 40 m²
B) 45 m²
C) 52 m²
D) 64 m²
E) 96 m²
Resolução:
Alternativa D
Calculando a área do trapézio, temos que B = 10, b = 6 e h = 8. Então, temos que:
Questão 2
A quadra poliesportiva de uma escola possui 22 metros de largura e 44 metros de comprimento. Se um aluno percorrer essa quadra 8 vezes, ele percorrerá:
A) 1500 metros
B) 1320 metros
C) 1188 metros
D) 1100 metros
E) 1056 metros
Resolução:
Alternativa E
Calculando o perímetro, temos que:
P = 2 · (22 + 44)
P = 2 · (66)
P = 132 m
Sabendo que uma volta tem 132 metros, então 8 voltas terão:
132 · 8 = 1056 m