Qual dos triângulos representados nesse quadro é semelhante ao triângulo 1

As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:

Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Semelhança e relações métricas

Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:

Usando que encontramos a proporção:

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:

Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:

Teorema de Pitágoras

A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.

Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:

Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:

Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:

A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exemplos

1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:

Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36

2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.

Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n

Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m

Fórmulas

Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.

Para saber mais, leia também:

• Trigonometria no Triângulo Retângulo
• Exercícios de trigonometria no triângulo retângulo
• Exercícios de Trigonometria
• Triângulo Retângulo
• Razões Trigonométricas
• Seno, Cosseno e Tangente
• Exercícios de seno, cosseno e tangente
• Relações Trigonométricas
• Identidades trigonométricas
• Fórmulas de Matemática

Exercícios Resolvidos

1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo

2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Os triângulos são polígonos que possuem três lados, assim também apresentam três ângulos internos, três ângulos externos e três vértices. No entanto, não são quaisquer três segmentos de reta que determinam um triângulo, ou seja, o tamanho dos lados tem influência em sua existência.

Podemos classificar os triângulos de acordo com o tamanho de seus lados, podendo ser escalenos, isósceles ou equiláteros. E, em relação a seus ângulos internos, podem ser chamados de triângulos retângulos, acutângulos ou obtusângulos.    

Leia também: Conhecendo os polígonos

Elementos de um triângulo

Antes de classificarmos um triângulo, vamos entender os elementos que o formam. Em todo triângulo teremos três lados, estes são formados por segmentos de reta. Teremos também três vértices, em que os segmentos de reta encontram-se em ângulos internos e externos. Veja na figura:

Os lados, como dito, serão determinados por segmentos de reta, e vamos representá-losda seguinte maneira:

Os vértices do triângulo são pontos em que os lados se encontram, bem como usados para dar nome ao triângulo. Vamos representá-los assim:

Os ângulos internos são as medidas entre os lados do triângulo, logo, teremos três ângulos internos. Estes são representados desta forma:

Devemos colocar um acento circunflexo (ou um “chapéu”) no vértice em que se encontra o ângulo.        

Os ângulos externos são ângulos adjacentes suplementares aos ângulos internos, e aqui são representados pelas letras gregas α (alfa) β (beta) e γ (gama). Veja melhor na imagem:

Saiba mais: Soma dos ângulos internos de um triângulo

Condição de existência dos triângulos

Imagine 3 segmentos de reta medindo respectivamente 10 cm, 7 cm e 6 cm. Será possível construir um triângulo com essas medidas? Observe:

Nós temos um exemplo que mostra que não são quaisquer 3 segmentos que formam um triângulo. Existe uma condição que tem de ser satisfeita.

A medida de cada lado do triângulo deve ser menor que a soma da medida dos outros dois lados e, ao mesmo tempo, maior que o módulo da diferença entre elas.  

As medidas l1, l2 e l3 são os tamanhos dos lados do triângulo. Essa relação também é conhecida como desigualdade triangular.

- Exemplo.

É possível construir um triângulo com os lados medindo 12 cm, 9 cm e 4 cm?

Solução:

Tomando:

Perceba que esses valores satisfazem a fórmula da condição de existência. Substituindo os valores, temos:

Como 8 < 9 < 16,então é possível construir um triângulo com essas medidas de lado.

Se quiser saber mais sobre o tema, leia nosso texto: Condição de existência de um triângulo.

Classificação quanto aos lados

Em relação ao tamanho dos lados de um triângulo, podemos classificá-los em três: triângulo escaleno, triângulo isósceles e triângulo equilátero.

• Triângulo escaleno

Dizemos que um triângulo é escaleno quando todos os lados apresentarem medidas diferentes.

Assim, podemos dizer que todos ângulos internos também são diferentes entre si.

• Triângulo isósceles

Dizemos que um triângulo é isósceles quando dois de seus lados são congruentes, ou seja, apresentam a mesma medida, e o terceiro lado é diferente.

No triângulo isósceles, temos também dois ângulos iguais, que são chamados de ângulos da base, e o outro ângulo diferente.

• Triângulo equilátero

Dizemos que um triângulo é equilátero quando todos os seus lados são iguais, isto é, todos os lados têm a mesma medida.

No triângulo equilátero, todos os ângulos são congruentes, ou seja, todos os ângulos são iguais. Além disso, uma propriedade muito importante do triângulo equilátero é que todos os seus ângulos medem 60°.

Veja também: Semelhança de triângulos: aprenda os casos

Classificação quanto aos ângulos

Em relação à medida dos ângulos, também podemos classificar os triângulos em três tipos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo e triângulo obtusângulo.

• Triângulo retângulo

Quando um triângulo apresentar um ângulo reto, ele será chamado de triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois lados são chamados de catetos. Além disso, é para esse triângulo que vale o teorema de Pitágoras.

Do triângulo retângulo anterior, podemos dizer:

m (Â) = 90º → ângulo reto
BC → hipotenusa
AB e AC   → catetos

• Triângulo acutângulo

Um triângulo será dito acutângulo quando todos os seus ângulos internos forem menores que 90°.

Do triângulo acutângulo, temos que:

• Triângulo obtusângulo

O triângulo é obtusângulo quando apresenta um ângulo interno maior que 90°.

Do triângulo obtusângulo, segue que:

Saiba mais: Perímetro do triângulo equilátero: aprenda a fórmula

Exercícios resolvidos

Questão 1. Nas figuras seguintes, classifique os triângulos em relação aos lados e ângulos.

a)

R: Retângulo e escaleno

b)

R: Acutângulo e equilátero

c)

R: Obtusângulo e escaleno

d)

R: Acutângulo e escaleno

e)

R: Acutângulo e isósceles

Qual dos triângulos 1 2 e 3 ou 4 é semelhante ao triângulo colorido de cinza?

Qual desse triângulo são semelhantes?

Quais desses triângulos são semelhantes Ie II Ie IV III e IV?

Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie II II e IV III e IV III EV?