Qual é a relação entre o número de arestas é o número de lados do polígono da base?

Os polígonos são figuras geométricas bidimensionais formadas por segmentos de reta. Entre os elementos dos polígonos, estão os vértices, lados e diagonais. As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices não consecutivos. As imagens a seguir mostram as diagonais de alguns polígonos em preto:

Observe que o número de diagonais aumenta quando aumentamos também o número de lados do polígono. O triângulo possui zero diagonais, o quadrado, duas, o pentágono, cinco, e o hexágono, nove.

Encontrar uma relação entre o número de diagonais de um polígono e seu número de lados não é tarefa fácil, já que ela parece não existir. No entanto, essa relação existe e depende do número de diagonais que partem de um único vértice do polígono.

Diagonais que partem de um único vértice

Na imagem a seguir, veja a quantidade de diagonais que partem do vértice A dos polígonos em destaque:

Do quadrado, parte uma diagonal do vértice A. Do pentágono, duas, e do hexágono, três diagonais. A imagem a seguir mostra as diagonais que partem do vértice A de um decágono.

Observe que essa figura geométrica possui dez lados e de cada vértice partem sete diagonais. Veja abaixo uma tabela que relaciona o número de lados da figura e o número de diagonais partindo de um mesmo vértice (dv):

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Note que o número de diagonais partindo de um mesmo vértice é sempre igual ao número de lados do polígono menos três unidades. Assim, se o lado do polígono for representado pela letra n, teremos:

dv = n – 3

Número total de diagonais de um polígono

O número total de diagonais (d) do polígono pode ser obtido a partir da seguinte expressão:

d = n(n – 3)
     2

Em outras palavras, o número de diagonais de um polígono sempre é o produto entre o número de lados e o número de diagonais que partem do mesmo vértice dividido por dois. Essa relação vale para todo polígono convexo, ou seja, que não possui reentrâncias.

Exemplos

1º Exemplo – Qual o número de diagonais de um polígono que possui 40 lados? Quantas diagonais partem de cada vértice desse polígono?

Solução: Não é necessário desenhar a figura para responder a questões como essas. Para encontrar o resultado da primeira pergunta, faça:

d = n(n – 3)
      2

d = 40(40 – 3)
      2

d = 40(37)
     2

d = 1480
      2

d = 740

A partir do mesmo vértice:

dv = n – 3

dv = 40 – 3

dv = 37

Portanto, são 740 diagonais no total e 37 diagonais partindo do mesmo vértice.

2º Exemplo – Qual o número de lados de um polígono que possui 25 diagonais partindo de cada vértice?

Solução:

dv = n – 3

25 = n – 3

n = 25 + 3

n = 28

São 28 lados.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada pela seguinte expressão:

V – A + F = 2

Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.

Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Antes de prosseguir com exemplos e demais explicações, é bom relembrar o que é um poliedro convexo, pois a relação acima vale para todos eles.

Poliedros convexos

Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Na prática, não é necessário testar essa definição para todas as faces de um poliedro, mas apenas para aquelas que potencialmente possam classificá-lo como não convexo.

Por exemplo: O poliedro abaixo é não convexo. Para ter certeza disso, desenhamos uma parte de um plano que contém uma de suas faces. É evidente, escolhemos a face problemática para percebermos isso.

Já na figura abaixo, um cubo, um exemplo de um poliedro convexo. Note que ele não possui “concavidades”, ou seja, nenhuma de suas faces esta “voltada para dentro” do poliedro.

Contando os elementos de um poliedro

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Para verificar a validade da relação de Euler, escolheremos dois poliedros convexos e contaremos seus elementos. Depois disso, verificaremos se o número de vértices, arestas e faces realmente satisfazem a relação de Euler. Observe:

1 – Primeiramente, contaremos o número de faces, vértices e arestas da figura anterior (cubo).

Faces: 6

Arestas: 12

Vértices: 8

Agora, verificaremos a relação de Euler:

V – A + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2

Para o primeiro poliedro convexo, o cubo, a relação de Euler se verifica.

2 – Verificaremos agora a relação de Euler para a pirâmide quadrangular convexa.

Faces: 5

Arestas: 8

Vértices: 5

V – A + F = 5 – 8 + 5 = 10 – 8 = 2

E a relação de Euler também se verifica para a pirâmide quadrangular convexa.

Exemplos

1 – Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces.

V – A + F = 2

10 – A + 7 = 2

– A = 2 – 7 – 10

– A = – 15

A = 15

O sólido possui 15 arestas.

2 – Determine o número de faces que possui um poliedro com 12 arestas e 6 vértices.

V – A + F = 2

6 – 12 + F = 2

F = 2 +12 – 6

F = 8

O número de faces desse poliedro é 8.

Qual é a relação entre o número de lados de um polígono é o número de diagonais que partem de cada vértice?

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Qual a relação entre o número de lados é ângulos de um polígono?

Qual a relação existente entre o número de lados do polígono que compõe a base da pirâmide é o número total de arestas da pirâmide de faces da pirâmide?