Qual é o raio da circunferência que possui o comprimento de 62 8 cm?

Questão 1

Toda as equações a seguir pertencem a circunferências distintas. Qual das equações apresentadas está relacionada a uma circunferência de centro (3, 9) e raio 3 cm?

a) (x – 3)2 + (y + 9)2 = 3

b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9

c) (x – 3)2 + (y – 9)2 = 3

d) (x – 3)2 + (y – 9)2 = 9

e) (x + 9)2 + (y + 3)2 = 9

Questão 4

O círculo e a circunferência possuem definições muito parecidas, o que implica em seu formato, com a diferença de que o círculo é formado por todos os pontos limitados por uma circunferência. Considerando uma circunferência de raio r e centro C, e um círculo limitado por ela, assinale a alternativa correta:

a) O ponto E pertence ao círculo, mas não à circunferência se dCE = r

b) O ponto E pertence a ambas as figuras se dCE < r

c) O ponto E pertence apenas à circunferência se dCE = r

d) O ponto E pertence apenas ao círculo se dCE < r

e) O ponto E pertence a ambas as figuras se dCE > r

Respostas

Resposta Questão 1

A equação reduzida da circunferência tem a forma (x – a)2 + (y – b)2 = r2, na qual o centro da circunferência é o ponto C(a, b) e o raio é r. Note que na equação as coordenadas do centro aparecem com o sinal invertido e o raio aparece elevado ao quadrado. Assim, a equação da circunferência de centro (3, 9) e raio 3 é:

(x – 3)2 + (y – 9)2 = 32

(x – 3)2 + (y – 9)2 = 9

Alternativa D

Resposta Questão 2

A área da coroa circular é dada pela área da circunferência maior menos a área da circunferência menor. Se R e r são os respectivos raios, a fórmula poderá ser dada por:

A = πR2 – πr2

A = π(R2 – r2)

Substituindo os valores dos raios e de π, teremos:

A = π(R2 – r2)

A = 3,14(202 – 102)

A = 3,14(400 – 100)

A = 3,14(300)

A = 942 cm2

Alternativa A

Resposta Questão 3

Para resolver esse problema, lembre-se de que a circunferência completa representa uma volta de 360°. Descobrindo seu comprimento, é possível descobrir o comprimento de qualquer arco por meio de regra de três.

O comprimento da circunferência é:

C = 2πr

C = 2·3,14·10

C = 62,8 cm.

Por regra de três:

62,8 = 360
 x        45

360x = 62,8·45

360x = 2826

x = 2826
      360

x = 7,85 centímetros aproximadamente

Alternativa E

Resposta Questão 4

a) Incorreta!

Se dCE = r, então o ponto E pertence a ambas as figuras.

b) Incorreta!

Se dCE < r, então o ponto E pertence apenas ao círculo.

c) Incorreta!

Se dCE = r, então o ponto E pertence a ambas as figuras.

d) Correta!

e) Incorreta!

Se dCE > r, então o ponto E não pertence a nenhuma das figuras.

Alternativa D

A circunferência e o círculo são figuras geométricas planas que aparecem com frequência na natureza. Assim como as outras formas geométricas possuem seus elementos, a circunferência e o círculo também possuem algumas características especiais.

Veja também: Ponto, reta, plano e espaço: conceitos básicos da geometria

Tópicos deste artigo

• 1 - O que é circunferência?
• 2 - Elementos da circunferência
  • Exemplo
• 3 - Perímetro da circunferência
  • Exemplo
• 4 - O que é o círculo?
• 5 - Elementos do círculo
• 6 - Área do círculo
  • Exemplo
• 7 - Exercícios resolvidos

O que é circunferência?

Uma circunferência é uma região do plano formada por pontos que são equidistantes de um ponto fixo chamado de centro da circunferência, ou seja, é formada por pontos que possuem a mesma distância do centro.

O ponto no meio da circunferência é o centro. Note que a distância entre todos os pontos em azul até o centro é a mesma.

Elementos da circunferência

Em toda circunferência, temos raio, diâmetro e corda. Vejamos agora cada um desses elementos:

O raio (r) da circunferência é o segmento de reta que une o centro (C) da circunferência à sua extremidade (em azul). O segmento de reta que une as duas extremidades da circunferência e passa pelo centro C é chamado de diâmetro da circunferência e é denotado pela letra d. Observe que o diâmetro é a soma do raio da circunferência, logo:

d = r + r

d = 2·r

Como pode ser visto, o diâmetro é o dobro do raio. Qualquer outro segmento de reta que una dois extremos da circunferência e que não passe pelo centro é chamado de corda.

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• Exemplo

Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro igual a 20 cm.

Como o diâmetro é duas vezes o raio, temos:

Em outras palavras, o raio é a metade do diâmetro.

Perímetro da circunferência

O perímetro da circunferência, também chamado de comprimento da circunferência, será representado por C. Imagine realizar um corte em um ponto qualquer da circunferência e “esticá-la” até que seja encontrado um segmento de reta. O que vamos realizar agora é determinar o tamanho desse segmento de reta.

O matemático e filósofo grego Arquimedes, em um de seus estudos, percebeu que a razão entre o comprimento da circunferência ( C ) e o diâmetro (d) sempre resultava em um mesmo número. Essa constante foi chamada de pi, que é denotado pelo símbolo π.

Dessa razão entre o comprimento de circunferência e o diâmetro, podemos encontrar uma expressão que possibilita determinar o comprimento da circunferência ou perímetro em função do raio. Veja:

Sabemos que o diâmetro da circunferência é o dobro do raio, ou seja, d = 2r. Substituindo esse valor na expressão acima, teremos que o comprimento da circunferência em função da medida do raio é:

C = π · 2r

C = 2πr

Usualmente, utilizamos o valor de pi como sendo 3,14.

• Exemplo

Determine o comprimento de uma circunferência de raio 25 cm.

Substituindo o valor do raio na fórmula, temos:

C = 2πr

C = 2(3,14)(25)

C = 157 cm

O que é o círculo?

A definição de círculo é decorrente da definição de circunferência, pois um círculo é a região interna da circunferência. Fazendo um comparativo, temos que a circunferência é a extremidade, e o círculo é toda a região delimitada por essa extremidade. Veja a figura:

Leia támbém: Ângulos no círculo: como encontrá-los?

Elementos do círculo

• Como o círculo é uma região do plano determinada por uma circunferência, os elementos do círculo coincidem com os elementos da circunferência, isto é, ele também apresenta raio, diâmetro e corda. Veja:

Área do círculo

A área do círculo é a medida de toda região delimitada pela circunferência. Considere um círculo de raio r:

A área do círculo é dada por:

• Exemplo

Um círculo possui raio igual a 5 cm. Determine sua área.

Resolução:

Substituindo o valor do raio na fórmula, temos:

A = π r2

A = (3,14) 52

A = 3,14 · 25

A = 78,5 cm2

Veja também: Comprimento da circunferência e área do círculo

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Uma circunferência possui perímetro igual a 628 cm. Determine o diâmetro dessa circunferência e adote π = 3,14.

Solução

Como o perímetro é igual a 628 cm, podemos substituir esse valor na expressão de comprimento da circunferência.

Questão 2 – Duas circunferências são concêntricas se elas possuem o mesmo centro. Sabendo disso, determine a área da figura em branco.

Solução:

Para determinar a área em branco, devemos calcular a área do círculo maior e subtrair a área do círculo em azul.

AMAIOR = π r2

AMAIOR = (3,14) · (9)2

AMAIOR = (3,14) · 81

AMAIOR = 254,34 cm2

Vamos calcular agora a área do círculo em azul:

AAZUL = π r2

AAZUL = (3,14) · (5)2

AAZUL = (3,14) · 25

AAZUL = 78,5 cm2

Assim, a área em branco é a diferença entre a área maior e a área azul.

ABRANCO = 254,34 – 78,5

ABRANCO = 175,84 cm2 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Qual é a medida do raio de uma circunferência cujo comprimento é 62 8 cm?

Como calcular o raio em CM?

Como saber a circunferência pelo raio?

Qual é o raio de 6 cm?