São proporcionais aos números 4 5 e 6 Então a medida do seu menor ângulo e de?

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Triângulo 
Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo 
tem 3 ângulos externos. 
 
 
 
 
Observe que: 
α + C = 180º e A + B + C = 180º 
Então: α + C = A + B+ C ⇒ α = A + B 
 
Conclusão: 
O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. 
 
 
 
 
 
 Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo 
prolongamento de outro. 
A B 
C 
A B 
C 
 C 
A 
B 
α 
Ângulo externo
a + b b 
a 
a + c
a c 
b 
b +c 
c 
 6
VI – Classificação dos Triângulos 
 Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou 
de seus lados. 
 
1) Quanto aos Ângulos 
 
 
 
Acutângulo Retângulo Obtusângulo 
Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo obtuso 
 
2) Quanto aos Lados 
 
 
 
Escaleno Isósceles Eqüilátero 
 
Vale Destacar: 
1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais. 
 
AB = AC ⇔ B = C 
São iguais os ângulos opostos aos lados 
iguais. 
 
 Essa é a condição mínima para um triângulo ser 
classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que 
apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa 
um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos: 
A = B = C = 60º 
 
 
2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares 
 
 α + β = 90º 
 
 
C B 
A 
B C 
A 
α β 
 7
3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: 
 
Se r // s então, θ = α + β Nesse quadrilátero côncavo 
 α = a + b +c 
 
Justificativas: 
θ é ângulo externo ao triângulo α é ângulo externo 
 
 Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que 
envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir: 
Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que o ângulo mede 25º. 
 
D
C 
B 
A 
α 
 
 
Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. A partir daí, o 
ângulo CBD = 25º, dado o triângulo CBD ser 
isósceles. O ângulo BCA é externo a esse 
triângulo então, BCA = 50º. Como o triângulo 
ABC também é isósceles (BA = BC) temos o 
ângulo BAC = 50º. Observe agora o 
triângulo ABD: o ângulo α é externo a ele, 
portanto α = A + D, ou seja, α = 50º + 25º . Logo α = 75º. 
α 
b a 
c 
b + c 
β 
α 
θ 
r 
s α 
α 
b a 
c 
β 
α 
θ 
r 
s 
25º 
D
C 
B 
A 
α 
 8
EXERCÍCIOS 
01. Determine α nas seguintes figuras: 
 
 
 
 
02. Nas figuras, AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo α sabendo-se 
que OX é bissetriz de AÔB. 
 
 
 
03. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. Calcule a 
sua medida. 
 
 
 
04. Dois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10o e x + 50o. 
Calcule o valor de cada um deles. 
 
 
 
 
05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos 
outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura? 
 
 
 
06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6o o quádruplo do seu 
complemento. 
 
 
 
07. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. Determine-os. 
 
 
 
08. Quatro semi-retas OA→ , OB→ , OC→ e OD→ formam, em torno de um ponto, quatro 
ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Determine os 
ângulos. 
 
 
 9
09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo 
entre r e s mede 72o, calcule o ângulo α. 
 
 
10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 
1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 
 
 
11. O triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Determine α e β. 
 
 
C 
A 
α 
B B 
C
A
β 
70o70o 
 
12. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que D = 30º. 
 
D
C 
B 
A 
α 
 
13. Calcule α em cada figura, sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um 
triângulo eqüilátero. 
 B 
D C 
E 
A
α
B 
D C 
E 
A 
α 
 
 
14. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à 
metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este ângulo, sabendo que um ângulo 
agudo é o dobro do outro. 
 
 
 10
15. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 42o a medida do 
ângulo BAD e 20o a medida do ângulos ABC, calcule a medida do ângulo ACD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Na figura, AB = AC, CD = CE e AFD = 60o. Calcule 
a medida do ângulo A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Na figura, sabe-se que oA 90=
∧
, MC = MB, BS é bissetriz de 
∧
B e que oBSA 126=
∧
. 
Pede-se o ângulo 
∧
C. 
 
Dica: “Num triângulo retângulo, a mediana 
relativa à hipotenusa é sempre igual à 
metade da hipotenusa.” 
 
 
 
 
18. Na figura, sendo AB congruente a AC , AE congruente a AD, calcule a medida 
do ângulo EDC
)
, dado DAB
)
= 48o. 
 
 
 
 
 
 
 
19. Na figura abaixo, AB = AC e E
3
2C ˆˆ = . Calcule a medida do ângulo 
∧
A . 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
C 
M 
S 
A 
B C 
E 
B 
A 
E 
C D 
 
F
B
D
C
E 
A 
B A 
C 
D 
 11
VII – Polígono 
 
Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal 
fechada. 
A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos 
de reta consecutivos. 
 
 
 
 
 
Ex.: Pentágono 
 Convexo Côncavo 
 
VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono 
 
1) Ângulos internos 
 
Todo polígono pode ser dividido em Triângulos. 
 
 
 
 
 
 
Si = 180º Si = 180º . 2 Si = 180º. 3 Si = 180º.4 
 
 
Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2) 
 
 
2) Externos 
 Como cada ângulo interno é suplemento do 
interno adjacente temos: 
 Si + Se = 180º . n 
 
Então: 
Se = 180º. n – Si 
Se = 180º. n – 180º ( n – 2 ) 
Se = 180º. n – 180º n +360º 
 
Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é 
constante. 
É mais fácil, portanto, determinar – caso os 
ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais – a medida do ângulo 
externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno. 
 12
Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, 
quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em 
Equilátero (lados iguais), Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um polígono é regular quando possui lados 
e ângulos respectivamente iguais. 
 
Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão: 
 
n
360º Ae A e =
−
=
n
n
i
)2(º180
 
 
* Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3, 4, 5, 6, ... lados e quais 
são as medidas de seus ângulos. 
 
IX – Diagonal 
 
Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como 
extremos dois vértices não consecutivos do polígono. 
 
No polígono ABCD..., AC, BE e BD são 
exemplos de diagonais nesse hexágono. 
 
Observe que, de cada vértice de um 
polígono de gênero n partem (n – 3) 
diagonais. 
Num total de: d = 
2
)3n(n − 
 
 
 
Exemplo: O decágono regular possui d = 
2
)310.(10 − , ou seja, 35 diagonais. Seu 
ângulo externo será Ae = 10
360o = 36º e seu ângulo interno será Ai = 180º - 36º. 
 
O ângulo interno do decágono regular mede 144º. 
 
D E 
C F 
A B 
Eqüiláteros Eqüiângulos 
Regular 
 13
EXERCÍCIOS 
 
01. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE, sabendo-se que: 
C = 2A, E = 2B, D = 
2
EC + e que E = 3A. 
 
 
02. Considere um eneágono regular e calcule: 
a) A soma dos ângulos internos. 
b) A soma dos ângulos externos.