Supondo que cada quadradinho tenha uma área de 3 cm determine a área da região colorida na

As figuras geométricas que possuem apenas três ou quatro lados contam com fórmulas para determinar sua área de maneira prática. Entretanto, para a maioria das figuras geométricas não existe fórmula. Para essas é preciso realizar uma decomposição, isto é, cortar a figura a fim de obter outras que possuam fórmulas de área bem definidas. Depois disso, ao calcular a área de cada figura e somar seus resultados, obtém-se, então, a área da figura inicial.

Para calcular a área do pentágono a seguir, por exemplo, basta dividi-lo em duas figuras: o quadrilátero EFGI e o triângulo GIH. Em seguida, deve-se calcular as áreas de ambos separadamente e depois somar os resultados.

“Decomposição” de figuras

Se imaginamos que as figuras geométricas são feitas de papel, fica fácil perceber que, na separação em duas partes, a soma das áreas das figuras resultantes será igual à área da figura inicial. Observe o seguinte retângulo que possui 4 cm de largura e 2 cm de altura:

 Se esse retângulo fosse cortado ao meio, na vertical, ele seria transformado em dois quadrados com lado de 2 cm, como mostra a figura abaixo:

Note que a área desse retângulo é igual a 8 cm2 e que a área de cada quadrado corresponde a 4 cm2. A soma das áreas desses dois quadrados é exatamente igual à área do retângulo.

Esse conceito pode ser usado para calcular a área quando não existe fórmula específica para algumas figuras ou para facilitar os cálculos da área de todo tipo de figura.

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Exemplo – Qual a área da seguinte figura, sabendo que a parte curva é um semicírculo?

Observe que já existe um corte marcando a divisão em partes nessa figura. Como todos os ângulos desse quadrilátero são retos, todos os seus lados opostos são paralelos e congruentes. Assim, concluímos que o quadrilátero é um quadrado com lado igual a 12 cm. O diâmetro do semicírculo é um dos lados do quadrado, por isso, seu raio é a metade do lado, ou seja, r = 6 cm. Agora, basta calcular a área do quadrado e a área do semicírculo e somar as duas para encontrar a área da figura acima.

Área do quadrado:

A1 = l2

A1 = 122

A1 = 144 cm2

Área do semicírculo: um semicírculo é um círculo dividido ao meio. Então, basta dividir a área do círculo (de raio igual a 6 cm) por dois para obter a área desse semicírculo.

Área do círculo com raio igual a 6 cm:

A = π·r2

A = 3,14·62

A = 3,14·36

Área do semicírculo com raio igual a 6 cm:

A2 = 113,04
        2

A2 = 56,52 cm2

A área da figura é a soma A1 + A2:

144 + 56,52 = 200,52 cm2

O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura.

Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área.

Exemplo 1
Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros.

Resolução

Área do quadrado é dada pela expressão: A = l²
Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r²

O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros.

Área do quadrado
A = l²
A = 8²
A = 64 m²

Área da circunferência
A = π*r²
A = 3,14 * 4²
A = 3,14 * 16
A = 50,24 m²

A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência.
A = 64 – 50,24
A = 13,76 m²

Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.

Exemplo 2

A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 10 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.

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Área em negrito da cerâmica

Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 20 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração:

Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.

Área do quadrado (cerâmica)
A = l²
A = 40²
A = 1600 cm²

Área das circunferências
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 cm²

314 * 4 = 1256 cm²

Área em negrito da cerâmica:

A = 1600 – 1256
A = 344 cm²

Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja:

Área da sala = 12 x 8 = 96 m²

Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto,
96 : 0,16 ~ 600 peças.

Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala.

600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²

Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m².