O que é propriedade comutativa é associativa?

Chama-se de propriedades da multiplicação uma das 4 operações matemáticas que, na verdade, visam obter um resultado final através da adição de um determinado fator por uma parcela, ou também um multiplicando.

Isso, mais objetivamente, significa que a multiplicação é um número que deverá ser somado a ele mesmo tantas vezes quanto for pedido.

Veja, por exemplo, a multiplicação 6 x 3.

Temos que o número 6 deve ser somado a ele mesmo 3 vezes, sendo assim:

6 + 6 + 6 = 18

Ou que o número 3 deve ser somado a ele mesmo 6 vezes:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

Podemos tomar como outro exemplo a multiplicação 5 x 7:

Sob o primeiro ângulo, teremos o número 5 somado 7 vezes por ele mesmo:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35

E sob outro ângulo teremos o número 7 somado a ele mesmo 5 vezes:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

Propriedades da multiplicação

Uma vez compreendida o que é uma multiplicação e como ela ocorre, aprenderemos as suas propriedades.

Essa operação matemática possui 4 propriedades: a comutatividade, a associatividade, a distributividade e a existência de um elemento neutro, ambas serão apresentadas e discutidas abaixo.

Propriedade Comutativa:

Lema tão repetido nas aulas do ensino fundamental, a definição da propriedade comutativa consiste na ideia de que a ordem dos fatores de uma multiplicação não altera o produto, ou seja, não altera o resultado.

Podemos provar essa definição, assim como também foi demonstrada nos exemplos acima, com as exemplificações abaixo:

4 x 2 = 8
2 x 4 = 8

Propriedade Associativa:

Essa segunda propriedade diz que a associação de fatores não altera o produto. Podemos ver o que isso representa a seguir:

Temos a multiplicação 2 x 4 x 3, que pode ser representada das seguintes maneiras:

2 x 4 x 3 = 8 x 3 = 24
2 x 4 x 3 = 2 x 12 = 24

Uma vez que o resultado é 24, poderemos associar a multiplicação do primeiro fator ao segundo e depois ao terceiro, ou também o segundo ao terceiro e por fim os multiplicar pelo primeiro sem que isso altere o produto final.

Propriedade Distributiva:

Bastante utilizada em muitas questões sem que seja o tema central da questão, mas sim ferramenta fundamental para obter o resultado, a distributiva é representada pelo modelo m x (n ± l) = m x n ± m x l.

O modelo quer dizer que, tendo fatores dentro de um parênteses multiplicados por um elemento fora do parênteses, esse número externo deverá se multiplicar a cada fator separadamente. Veja:

5(3 + 7) = 5 * 3 + 5 * 7 = 15 + 35 = 50
2(3 - 4) = 2 * 3 – 2 * 4 = 6 – 8 = -2

Elemento Neutro:

Nessa propriedade, o elemento neutro é o número 1. E qualquer número que seja multiplicado por 1 resultará nele mesmo.

5 x 1 = 5
1000 x 1 = 1000

As 5 propriedades da multiplicação são: comutativa, distributiva, associativa, elemento neutro e elemento inverso.

Usamos essas propriedades para facilitar os cálculos. Regra geral, podem ser usadas com números reais e complexos. Ou seja: naturais, inteiros, cálculo algébrico (quando aparecem letras), racionais e irracionais.

Propriedade comutativa

A propriedade comutativa define que não importa a ordem dos valores que você está multiplicando. Pode trocar a ordem que o resultado é o mesmo.

e

Sendo a e b números reais quaisquer, a comutativa garante que

Propriedade distributiva

A propriedade distributiva é utilizada quando um número está multiplicando uma adição ou subtração. Basta multiplicar separado cada termo e, somar ou subtrair o resultado.

Podemos escrever, assim

Nós distribuímos a multiplicação do 2, para o 8 e para o 3.

Com letras é a mesma coisa

Uma dica importante é colocar em evidência.

Esse é um procedimento, uma ferramenta matemática muito importante. É o caminho inverso da distribuição. Quando você distribui, é o caminho de ida e quando você coloca em evidência, faz o caminho de volta. Realmente, você volta ao ponto em que estava e isso pode parecer desnecessário, mas, não é. Na verdade, é fundamental.

Acompanhe o exemplo:

A letra aparece duas vezes, antes e depois da adição, multiplicando o e o.

Nesse caso, você pode colocar o sozinho do lado de fora de um parêntese e, dentro, somar ou subtrair os termos que sobraram.

Propriedade associativa

A propriedade associativa nos diz que se você está multiplicando três ou mais números, é possível associar os fatores de maneiras diferentes e mais convenientes.

Exemplo

Nós podemos fazer

Ou, assim

Elemento neutro

O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação não é à toa. Veja os seguintes exemplos:

Em uma multiplicação, o número 1 não altera o resultado, ele é neutro.

É importante notar que o -1 não é o elemento neutro. Um número multiplicado por -1 é igual ao seu oposto.

Elemento inverso

O inverso de um número qualquer, é o valor que multiplicado a ele, resulta em 1.

Para encontrar o inverso de um número, você vai usar uma fração. Basta colocar o 1 no numerador e o número que está invertendo no denominador.

O inverso de é

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Exercícios

Questão 1

O produto de dois números naturais a e b é igual a 345.

Qual o valor do produto b x a?

Qual o nome da propriedade da multiplicação utilizada?

Ver Resposta

O resultado é o mesmo, 345. A propriedade utilizada foi a comutativa, uma vez que alterando a ordem dos fatores o produto é o mesmo.

Questão 2

Cálculo mental

Use uma propriedade que lhe ajude a realizar mentalmente estas expressões.

a)

b)

Veja a explicação de uma possível estratégia.

Ver Resposta

a) Seria interessante associar 3 x 30. Depois, fazemos 90 x 12.

Veja que o 12 pode ser escrito como 10 + 2. Agora você pode usar a distributiva,

= Repare que neste caso, o 90 está em evidência.

b) Vamos associar 125 x 4 e 3 x 7, resultando em

Questão 3

(Unicamp - SP) Na expressão, as letras a, b e c só podem assumir os valores 0, 1 e 2.

a) Qual é o valor de m para a = 1, b = 1 e c = 2?

b) Qual é o maior valor possível para m?

c) Determine a, b e c de modo que m = -4.

Ver Resposta

a) Basta substituir os valores na fórmula.

b) O c deve assumir o menor valor, pois, está sendo multiplicado por -2. Assim, "sobra" mais para o m.

c)

Questão 4

Nas seguintes equações, identifique qual propriedade foi utilizada.

a)

b)

c)

d)

Ver Resposta

a) comutativa

b) elemento neutro

c) distributiva (colocando em evidência)

d) associativa

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

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