Uma sequência numérica pode seguir a ordem “comum” (1,2,3,4..) ou ser estabelecida com operações matemáticas, por exemplo somar 3 a cada termo (1,4,7,10,13…). Nesse caso, os padrões são chamados de progressões numéricas e podem ser divididos em dois grandes grupos: aritméticas e geométricas. Show
Acompanhe o texto a seguir para entender cada uma das progressões e como elas se diferenciam entre si. Veja também questões de vestibular resolvidas sobre o tema, o que pode te ajudar na consolidação do conteúdo.
Partindo do pressuposto de que progressões são sequências numéricas que seguem um padrão determinado, é necessário entender como se dão esses padrões. Definido um elemento inicial para a sequência, é possível definir qual a operação matemática que construirá sua progressão. Por exemplo, se o primeiro termo for 2, você pode:
Observe como nos casos de soma e subtração os valores variam de maneira linear, quando o valor somado ou subtraído (coeficiente) é “pequeno” (2 e 5). Entretanto, para coeficientes tão baixos quanto (3 e 4) a variação dos elementos nos casos de multiplicação e divisão é mais abrupta. Devido a essa diferença de desenvolvimento, as progressões admitem as classificações de aritméticas (provenientes de soma e subtração) e geométricas (quando ocorre divisão ou multiplicação). Uma forma de compreender a diferença entre elas é a observação dos desenhos gráficos de cada uma: Uma das aplicações desse conhecimento, inclusive, é muito utilizada nas ciências humanas. Durante seus estudos, o matemático Thomas Malthus propôs que a população seguia um padrão de crescimento semelhante a uma progressão geométrica. Enquanto isso, a disponibilidade de alimentos teria uma ascensão aritmética. Com base nisso, ele formulou uma teoria de que a população não poderia continuar crescendo em ritmo tão acelerado, já que não haveria recursos suficientes para a sobrevivência caso os padrões se mantivessem. Foi a partir de então que surgiram as ideias de controle populacional, planejamento familiar e etc. Atualmente, sabe-se que com a tecnologia e maior controle da natureza, as projeções apontadas por Malthus não se conferem. Progressões aritméticas (P.A.)Agora, você aprenderá fórmulas e conceitos importantes na determinação de cada um dos tipos de sequências numéricas padronizadas. Iniciaremos com o estudo das progressões aritméticas (P.A.), para isso partiremos do modelo PA (3,7,11,15,19,23). Para a construção delas, são necessárias duas variáveis principais:
Fórmulas da progressão aritméticaMas afinal, como é encontrado o coeficiente r de uma progressão aritmética? Para isso, são utilizadas fórmulas matemáticas que ajudam na manipulação da sequência. Vamos considerar que, para PA (3,7,11,15,19,23) a1=3 Então, qual seria a relação de soma ou subtração entre esses valores? É possível equacionar essa pergunta como: a1 + r = a2 a2 + r = a3 Note como as respostas são congruentes e como as equações se relacionam entre si: o r é mantido como um padrão e o número de vezes que ele é somado só elemento a1 diz fornece um novo elemento da sequência. A partir disso, foi criada a fórmula do termo geral de um P.A.: an = a1 + (n-1).r Veja uma demonstração do uso dela na mesma progressão já estudada: a5 = a1 + (5-1).r Com base nessas definições, é possível concluir que a progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. A partir do estudo matemático das P.A., foi possível determinar uma fórmula que fornece a soma total entre todos os termos da sequência. Veja abaixo e acompanhe o exemplo: Imagem: Adaptação/Wikimedian = posição do elemento final da sequência Com o modelo anterior PA (3,7,11,15,19,23) a soma se dá como 3+7+11+15+19+23=78. Se utilizarmos a fórmula, teremos que: n = 6 Sn = [6 . (3+23)]/2 Perceba que, mesmo se não soubéssemos os outros elementos da sequência, seria possível encontrar o valor da soma de todos os termos. + Veja também: Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações Progressão Geométrica (P.G.)Como foi dito anteriormente, a progressão geométrica é uma sequência numérica em que a razão entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Matematicamente, as palavras razão e proporção sempre remetem à divisão ou multiplicação, de forma que essas são as operações essenciais da P.G. Fórmulas da progressão geométricaA fórmula que determina o termo geral de uma progressão geométrica é baseada em cálculos multiplicativos e exponenciais. Entenda a partir do exemplo, com uma P.G. de primeiro termo a1 e razão q: P.G. (a1, a1.q, a1.q.q, a1.q.q.q) Observe como a razão é adicionada como fator multiplicador em cada termo, de forma que ela poderia ser agrupado da seguinte forma: P.G. (a1.q0, a1.q, a1.q2, a1.q3) Como a relação entre o expoente q e a posição n do termo é sempre tal que para um elemento an → q(n-1), encontrou-se o termo geral da P.G.: an = a1.q(n-1) Além disso, é possível definir qual o valor da
soma de todos os termos de uma P.G. somente com o valor de seu primeiro termo e do coeficiente q, acompanhe na figura: A diferença entre as duas fórmulas é que:
Uma das aplicações das progressões geométricas está na fórmula dos juros compostos, quando a taxa de juros incide sobre cada parcela do financiamento, por exemplo. Observe a semelhança na fórmula: valor acumulado = valor inicial . (1+taxa)tempo + Veja também: Matemática financeira: fórmulas, conceitos e importância Questões sobre progressões geométricas e aritméticasAgora, vamos colocar em prática todo o conhecimento adquirido com questões sobre progressões aritmética e geométrica: PUC-SP O terceiro termo de uma sequência geométrica é 10 e o sexto termo é 80. Então, a razão é: a) 1 Do enunciado, temos que a3 = 10 e a6=80. Como trata-se de uma P.G., podemos utilizar a fórmula do termo geral (an = a1.q(n-1)), de modo que: a3 = a1.q(3-1) a6 = a1.q(6-1) 10.q3=80 Conheça as vantagens do Estratégia Vestibulares!Você sabia que a Coruja oferece a possibilidade de personalização dos materiais e demais conteúdos, de maneira que seus estudos são distribuídos na semana conforme a sua disponibilidade, o que facilita a organização para assistir aulas e revisar matérias. Não perca tempo, clique no banner abaixo e saiba mais! Veja também:
Qual a diferença entre progressão aritmética é progressão geométrica Segundo Malthus?Progressão aritmética é uma sequência de números reais cuja diferença entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, é uma constante. Progressão geométrica é uma sequência de números reais não nulos cujo quociente entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, é uma constante.
Qual é a diferença entre progressão aritmética é progressão geométrica?A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos. A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.
Qual a principal característica de uma progressão aritmética é da progressão geométrica?Progressão aritmética e geométrica: a progressão é uma sequência de números no qual a diferença entre um termo e seu precedente é sempre uma constante. Progressão geométrica é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e seu precedente é sempre uma constante.
Qual a definição de progressão geométrica?Uma PG é uma sequência numérica onde cada termo é o resultado do produto entre seu antecessor e uma constante, conhecida como razão.
|