Qual é a medida da área em metros quadrados da região dessa praça que será gramada 31 4 m2?

O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura.

Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área.

Exemplo 1
Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros.

Resolução

Área do quadrado é dada pela expressão: A = l²
Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r²

O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros.

Área do quadrado
A = l²
A = 8²
A = 64 m²

Área da circunferência
A = π*r²
A = 3,14 * 4²
A = 3,14 * 16
A = 50,24 m²

A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência.
A = 64 – 50,24
A = 13,76 m²

Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.

Exemplo 2

A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 10 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.

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Área em negrito da cerâmica

Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 20 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração:

Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.

Área do quadrado (cerâmica)
A = l²
A = 40²
A = 1600 cm²

Área das circunferências
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 cm²

314 * 4 = 1256 cm²

Área em negrito da cerâmica:

A = 1600 – 1256
A = 344 cm²

Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja:

Área da sala = 12 x 8 = 96 m²

Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto,
96 : 0,16 ~ 600 peças.

Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala.

600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²

Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m².

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a área da base dessa peça, após o 
cozimento, ficou reduzida em 
a) 4% d) 64% 
b) 20% e) 96% 
c) 36% 
 
15. Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio 
R e perímetro 3R, conforme ilustra a imagem. 
 
 
 
A área do setor equivale a: 
a) 2R c) 
2R
2
 
b) 
2R
4
 d) 
23R
2
 
 
16. 
 
 
O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a sua diagonal (BD) divididos, 
cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E, F} e 
{G, H}. A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo 
(ABCD). 
A sequência de operações que representa essa fração está indicada na 
seguinte alternativa: 
a) 
1
2
 . 
1
3
 . 
1
3
 
b) 
1 1 1
+
2 3 3
 
c) 
1 1 1
 . + 
2 3 3
 
 
 
 
d) 
1
2
 + 
1
3
 + 
1
3
 
 
17. João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, 
dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado na figura 1. 
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas 
duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de 
cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a 
soma dos números que estão nas extremidades de cada arco. 
A figura 2 a seguir ilustra as quatro etapas iniciais desse processo. 
Considere que João recortou a dobradura referente à figura da etapa 3 
na linha que corresponde à corda AB indicada na figura 3. 
Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedaço recortado, que havia 
formado o polígono da figura 4. 
 
 
 
 
Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte. 
 
18. A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é 
visto em diferentes escalas. 
 
 
 
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área 
correspondente a esse estado no mapa do Brasil. 
 
Esse número é 
a) menor que 10. 
b) maior que 10 e menor que 20. 
c) maior que 20 e menor que 30. 
d) maior que 30 e menor que 40. 
e) maior que 40. 
GEOMETRIA MÓDULO 11 CBMERJ 
 
 
 
5 
19. No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são 
pontos dos lados BC e AC, respectivamente, tais que 
BP AQ a= = e PC QC 4a.= = 
 
 
 
Os segmentos AP, BQ e CM interceptam-se no ponto O e a área do 
triângulo BOM é 5 cm2. Dessa forma, a área do triângulo BOP, 
assinalado na figura, é igual a 
a) 5 cm2. 
b) 6 cm2. 
c) 8 cm2. 
d) 9 cm2. 
e) 10 cm2. 
 
20. A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está 
localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 
hectares de área. 
Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. 
Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da 
piscina? 
a) 8 
b) 80 
c) 800 
d) 8000 
e) 80000 
 
21. Na figura está a planta de um canteiro: ABCD é um quadrado de 
lado 2 m, BD e CE são arcos de circunferências centradas em A, 
de raios AD e AC, respectivamente. 
 
 
 
O quarto de círculo em branco deverá ser coberto de flores e a parte 
sombreada deverá ser gramada. Nas condições dadas, a medida da 
área que deverá ser gramada, em metros quadrados, é 
aproximadamente igual a: 
 
Considere: 3,14π = 
a) 1,52 
b) 1,60 
c) 2,00 
d) 3,13 
 
 
22. A medida da área, em cm2, de um quadrado que pode ser inscrito 
em um círculo de raio igual a 5 cm é? 
a) 20 
b) 25 2 
c) 25 
d) 50 2 
e) 50 
 
23. Na figura, o lado do quadrado ABCD mede uma unidade. O arco BED 
pertence à circunferência de centro em A e raio unitário; o arco BFD 
pertence à circunferência de centro em C e raio unitário. A medida da 
área da região sombreada é: 
 
 
 
a)  - 2 c) 
(π - 2)
3
 
b) 
(π - 2)
2
 d) 
(π - 2)
4
 
 
24. A figura abaixo representa o símbolo utilizado para materiais 
radioativos. Nesse símbolo, aparecem duas circunferências de centro 
A, estando a externa dividida em seis arcos iguais. Todos os 
segmentos que aparecem no desenho estão contidos em raios da 
circunferência externa e os três pequenos arcos possuem, também, 
centro A. 
Na figura, os pontos A, B, C e D são colineares e AB 2,= BC 1= 
e CD 6.= 
 
 
Considerando as regiões que estão no interior da circunferência 
externa, calcule a razão entre as áreas das regiões sombreada e não 
sombreada. 
 
25. A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a 
figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L. 
 
 
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas 
dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta. 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 11 CBMERJ 
 
 
6 
26. A figura a seguir é o esboço de uma pista de atletismo, com cinco 
raias de 60 cm de largura cada. As raias são delimitadas por retas e 
semicircunferências concêntricas, sendo que a raia mais interna 
circunscreve um campo de futebol de 70 m por 100 m. 
 
 
A pista será revestida com material para amortecimento de impactos 
que custa R$ 15,00 o m2. Qual é, aproximadamente, o valor a ser gasto 
com o material de revestimento da pista? 
 
27. A razão entre a área do triângulo e a área do círculo inscrito, 
ilustrados na figura a seguir, é: 
 
 
a) 
12
π
 c) 
18
π
 e) 
1
π
 
b) 
6
π
 d) 
4
π
 
 
28. Para estimular a prática de atletismo entre os jovens, a prefeitura 
de uma cidade lançou um projeto de construção de ambientes 
destinados à prática de esportes. O projeto contempla a construção de 
uma pista de atletismo com 10 m de largura em torno de um campo de 
futebol retangular medindo 100 m x 50 m. A construção será feita da 
seguinte maneira: duas partes da pista serão paralelas às laterais do 
campo; as outras duas partes estarão, cada uma, entre duas 
semicircunferências, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
A partir desses dados, é correto afirmar que a pista de atletismo terá 
uma área de:Use: π = 3,14 
a) 2.184 m2 c) 3.948 m2 e) 4.846 m2 
b) 3.884 m2 d) 4.284 m2 
 
 
 
 
 
29. No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois 
segmentos de reta (de comprimento de 11 m e 3 m) e dois quadrantes 
de círculos (de raio 4 m), conforme a figura. A superfície da área de 
meta mede, aproximadamente, 
 
 
a) 25 m2 c) 37 m2 e) 61 m2 
b) 34 m2 d) 41 m2 
 
30. OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados 
semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o valor da razão das 
áreas hachuradas, a/b. 
 
a) 
1
2
 c) 
π
4
 e) 
π
3
 
b) 
1
2
 d) 1 
 
31. Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo 
equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em uma 
circunferência de comprimento igual a 10 cm? 
a) 
75π
4
 c) 
5π
2
 e) 
5π
4
 
b) 
25π
4
 d) 
25π
16
 
 
32. 
 
 
Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r 2 cm.= Se A, B e 
C são pontos do semicírculo e vértices do triângulo isósceles, a área 
hachurada é _____ cm². (Use 3,14)π 
a) 2,26 b) 2,28 c) 7,54 d) 7,56 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 11 CBMERJ 
 
 
 
7 
33. Na figura abaixo, os três círculos têm centro sobre a reta AB e os 
dois de maior raio têm centro sobre a circunferência de menor raio. 
 
 
 
A expressão que fornece o valor da área sombreada é 
a) 2
17π - 6 3
r
9
 c) 2
15π - 4 3
r
9
 
b) 
211π + 9 3 r
12
 d) 
213π + 6 3 r
12
 
 
34. Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de 
diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para 
pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito 
na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida 
entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será 
colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de 
terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com 
exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para . 
 
 
 
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a 
parte descrita do jardim é 
a) 100 c) 200 e) 1000 
b) 140 d) 800 
 
35. No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção 
de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído

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Qual é a medida da área em metros quadrados da região dessa praça que será gramada 31 4 m2 62 8 m2?

Qual é a medida da área em metros quadrados da região dessa praça que será gramada?

Qual será a medida da área em metros quadrados?

Quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio de 20 metros?