Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices é 10 arestas?

Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular.

Resolução:

Vértices

V – A + F = 2

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V – 8 + 5 = 2

V = 2 + 3

V = 5

Arestas

V – A + F = 2

5 – A + 5 = 2

–A = 2 – 10

–A = –8 x(–1)

A = 8

Faces

V – A + F = 2

5 – 8 + F = 2

–3 + F = 2

F = 2 + 3

F = 5

Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

3º Exemplo:

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro.

Resolução:

Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.

O octaedro é um poliedro de 8 (oito) faces. Por conseguinte, qual é o número de faces de um poliedro convexo que possui 10 vértices é 15 arestas *? Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases. A base da pirâmide pentagonal é um pentágono. Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.

Além disso, quantos lados tem um poliedro convexo?

O número de faces é igual a 8. 2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Então, É um poliedro convexo? Convexo: um poliedro é convexo se qualquer segmento com extremidades dentro do poliedro estiver totalmente contido no poliedro. Exemplo: O cubo é um poliedro convexo. Côncavo: um poliedro é côncavo se algum segmento com extremidades dentro do poliedro possuir pontos fora do poliedro.

Eduardo WagnerComit� Editorial da RPM

Em todo poliedro convexo com  V  v�rtices,  A  arestas e  F  faces, vale a rela��o .  Este � o Teorema de Euler para poliedros. A simplicidade do enunciado, a sua generalidade e a facilidade de ilustr�-lo com belos desenhos o tornam atraente, ou mesmo fascinante, para o estudante. Ao longo da hist�ria (o teorema foi descoberto em 1758), diversas demonstra��es apareceram, mas nem todas corretas ou completas.

Na RPM 03, num artigo do Prof. Zoroastro Azambuja Filho, encontra-se uma demonstra��o elementar e muito bonita do teorema; o leitor pode ver tamb�m a mesma id�ia na demonstra��o que se encontra no volume 2 do livro Matem�tica do ensino m�dio, publicado pela SBM.

A pergunta natural que se imp�e � a seguinte: dados tr�s n�meros naturais  V,  A  e  F  tais que  ,  existe sempre um poliedro convexo com  V  v�rtices,  A  arestas e  F  faces? A resposta � gritantemente n�o. Por exemplo,  V = 7,  A = 9  e  F = 4  satisfazem a rela��o de Euler ,  mas n�o s�o n�meros de nenhum poliedro, uma vez que com 4 faces s� existe o tetraedro, que tem 4 v�rtices e 6 arestas.

Portanto, que condi��es os n�meros  V,  A  e  F  devem satisfazer, al�m da rela��o de Euler, para que possamos garantir a exist�ncia de um poliedro com esses n�meros de v�rtices, arestas e faces? Obter a resposta para essa pergunta � o objetivo deste artigo.

Imagine um poliedro (ver a defini��o no Ap�ndice)  P  com todas as suas faces triangulares (como o tetraedro, por exemplo). Nesse caso,     3F = 2A,  uma vez que cada aresta � lado de exatamente duas faces. Entretanto, se  P  possui alguma face n�o triangular, ent�o 3F < 2A.

� portanto condi��o necess�ria que .                    (1)

Imagine agora que, no poliedro P, cada v�rtice seja ponto comum a tr�s arestas (como no cubo, por exemplo). Nesse caso, 3V = 2A,  pois, contando as arestas que incidem em cada v�rtice, teremos contado cada uma duas vezes. Entretanto, se  P  possui algum v�rtice onde incidem mais de 3 arestas, teremos 3V < 2A.

� portanto condi��o necess�ria que.                     (2)

Se  P  � convexo, ent�o   ou   e, usando (1),  obtemos  ou seja,   Usando  (2),  obtemos 

Portanto, para a exist�ncia de um poliedro convexo com  V  v�rtices,  A  arestas e  F  faces, � necess�rio que, al�m da rela��o de Euler, e de que,  tenhamos:   e 

Se o n�mero de arestas � pequeno, podemos facilmente investigar o aspecto de alguns poliedros. Por exemplo: Como s�o os poliedros que possuem  10  arestas?

Considerando as condi��es que acabamos de estabelecer, se A = 10, devemos ter   e .

Logo,  F = 6  e  V = 6.  Veja como eles s�o:

O primeiro � uma pir�mide pentagonal e o segundo possui duas faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

Observe que n�o podemos construir um poliedro, com as caracter�sticas estabelecidas, somente com faces triangulares. Como vimos antes, se um poliedro possui apenas faces triangulares, ent�o  3F = 2A,  o que n�o ocorre aqui.

Vamos prosseguir para encontrar condi��es suficientes para a exist�ncia de um poliedro convexo com  V  v�rtices,  A  arestas e  F  faces.

Representaremos por  (V, A, F)  qualquer um dos poliedros da fam�lia de todos os poliedros que possuem  V  v�rtices,  A  arestas e  F  faces. Por exemplo,  (6, 10, 6)  representa qualquer um dos dois poliedros que est�o ilustrados na figura anterior.  

Existe um poliedro convexo com V v�rtices, A arestas e F  faces se, e somente se:

i)   

ii)  

iii) 

iv) 

Prova: Inicialmente observamos que as condi��es  i)  e  iv)  podem ser obtidas  de  ii)  e  iii);  logo, n�o seria necess�rio escrev�-las, mas optamos por faz�-lo para maior clareza.

J� vimos que as condi��es s�o necess�rias. Vamos ent�o provar a sufici�ncia.

a) Inicialmente, definimos os poliedros (fam�lias) que chamaremos de primitivos. S�o os seguintes:

(4, 6, 4): o tetraedro,

(5, 8, 5):    a pir�mide de base quadrangular,

(6, 10, 6):  os poliedros que ilustramos na p�gina anterior.

b)  Vamos agora definir duas transforma��es a serem aplicadas nos poliedros primitivos:

A transforma��o denotada por  (2, 3, 1)  acrescenta a um poliedro dois v�rtices, tr�s arestas e uma face. Ela � realizada ajustando as arestas que incidem em um v�rtice, acrescentando uma nova face triangular como mostra a figura a seguir. As arestas e os v�rtices novos est�o em negrito.

A transforma��o denotada por  (1, 3, 2)  acrescenta a um poliedro um v�rtice, tr�s arestas e duas faces. Ela � realizada, introduzindo duas faces triangulares novas a partir de duas arestas adjacentes de uma face do poliedro. As arestas novas e o v�rtice novo est�o em negrito.

A id�ia dessas transforma��es deve-se a Edward Bender, da Universidade da Calif�rnia, que as publicou no artigo �The number of three dimensional convex polyhedra�, da American Mathematical Monthly, volume 94, January, 1987. Washington, D.C.

Os poliedros primitivos satisfazem as condi��es  i)  a  iv)  e, aplicando-se a eles qualquer n�mero de transforma��es  (1, 3, 2)  ou           (2, 3, 1),  continuamos obtendo poliedros que satisfazem essas condi��es. Por exemplo, se aplicarmos  x  vezes a transforma��o  (1, 3, 2)  ao poliedro  (4, 6, 4),  obtemos o poliedro,  que claramente satisfaz a condi��o  i);

satisfaz  ii), pois  4 + x � 6 � 3x + 4 + 2x = 2;

satisfaz  iii), pois ;

satisfaz  iv), pois .

Um trabalho an�logo mostra que os tr�s poliedros primitivos submetidos �s transforma��es  (1, 3, 2)  e  (2, 3, 1)  conservam as condi��es i)  a  iv).

A parte final vem a seguir, onde mostraremos que se  V,  A,  e  F  satisfazem  as condi��es  i)  a  iv),  existe  um  poliedro  com  esses n�meros de v�rtices, arestas e faces.

c) Dado  (V, A, F),  satisfazendo i)  a  iv),  existem inteiros n�o negativos  x  e  y  e existe um poliedro primitivo   tais que

, ou seja,  (V, A, F)  pode ser constru�do a partir de um dos poliedros primitivos.

Para provar isso, observe inicialmente o n�mero de arestas dos poliedros primitivos. No primeiro, o n�mero de arestas � m�ltiplo de  3,  no segundo, deixa resto  2  quando dividido por  3  e, no terceiro, deixa resto  1 quando dividido por  3. Veja tamb�m que, para quaisquer  x  e  y,  o n�mero  A  permanece inalterado (m�dulo 3),  ou seja, seu resto na divis�o por  3  permanece o mesmo.

Suponhamos que  A0 (mod 3),  ou seja,  A  � divis�vel por  3.

Se  x  e  y  satisfazem a primeira e a terceira equa��es, ent�o tamb�m satisfazem a segunda, uma vez que somando a primeira e a terceira equa��es obtemos, usando a rela��o de Euler,

Devemos ainda mostrar que as solu��es  x  e  y  do sistema

Vamos provar que  x  � inteiro:

Como estamos no caso A0 (mod 3), temos A + 22 (mod 3) ou  2(A + 2)1 (mod 3).

Como  3V0 (mod 3)  e  41 (mod 3), temos

2FV4 = 2F + 2V3V4 = 2(A + 2)3V4 = 0(mod3).

Assim,   � divis�vel por  3,  o que mostra que  x  � inteiro.

Da mesma forma, mostra-se que  y  � inteiro.

Com procedimento an�logo mostra-se que, se  A1 (mod 3),  conseguimos encontrar  x  e  y  inteiros tais que:

e que, se  A � 2 (mod 3),  conseguimos encontrar  x  e  y  inteiros positivos tais que

NOTA DA RPM: A id�ia deste artigo foi inicialmente apresentada pela professora Silvana L. Vincenzi Bortolotti � CEFET � Medianeira � PR, que enviou � RPM uma proposta de artigo tratando do assunto. Agradecemos a ela o interesse pela RPM e por ter chamado nossa aten��o sobre o tema.

No livro Meu professor de Matem�tica, do prof. Elon Lages Lima, o leitor encontrar� material interessant�ssimo sobre poliedros, sua hist�ria, a dificuldade em conseguir uma defini��o e duas demonstra��es do teorema de Euler.

Refer�ncia bibliogr�fica:

BENDER, E. A. The number of three dimensional convex polyhedra. The American Mathematical Monthly, volume 94, number 1, January, 1987. Washington, D.C.

Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 10 arestas?

Qual é o poliedro que apresenta 6 faces 10 arestas e 6 vértices?

Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices?

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