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Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo x que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas. Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 367 pessoas. Calcular essa probabilidade (e as relacionadas a ela) é o problema do aniversário. A matemática por trás disso tem sido utilizada para executar o ataque do aniversário. O problema foi apresentado pela primeira vez pelo matemático polonês Richard von Mises. Calculando a probabilidade[editar | editar código-fonte]Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniformes uma vez que as datas não são equiprováveis.[1] É mais fácil calcular a probabilidade p(n) de que todos os n aniversários sejam diferentes. Se n > 365, pelo princípio da casa dos pombos esta probabilidade é 0. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc. O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):
Implementação em Python[editar | editar código-fonte]def birthday(n): p = (1.0/365)**n for i in range((366-n),366): p *= i return 1-p Implementação no R[editar | editar código-fonte]birthday <- function(n) { print(p <- 1 - choose(365, 365 - n) * factorial(n) / 365 ^ n) } Implementação em Javascript[editar | editar código-fonte]function birthday (n) { let p = (1.0 / 365)**n for(let i = (366 - n); i < 366; i++) { p *= i } return 1 - p } Aproximações[editar | editar código-fonte]Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n2/(2⋅365)). a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a Então, Uma outra aproximação grosso modo é dada por que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão. Aproximação de Poisson[editar | editar código-fonte]Utilizando a aproximação de Poisson para a binomial, Novamente, ela é maior que 50%. Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
Notas e referências
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
Quantas pessoas no mínimo são necessárias para garantir que numa sala existam N pessoas que tenham nascido no mesmo mês?Mas isso não é garantia. Para resolver esse problema, precisamos do número mínimo de pessoas para garantir que pelo menos 7 fazem aniversário no mesmo mês. Para ter essa garantia, devemos pensar na pior das hipóteses, ou seja, você precisa imaginar que é uma pessoa extremamente azarada.
O que é o princípio das gavetas?O princípio das gavetas afirma que deverá haver pelo menos dois objetos na mesma gaveta quando existirem mais objetos que gavetas.
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