Quantas pessoas Precisa haver em um auditório para ter certeza eu disse certeza de que pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia?

O texto abaixo faz parte do e-book "Bruno Leal - Raciocínio Lógico Possível", de autoria do Prof. Bruno Leal. Este e-book traz centenas de questões de RLM comumente cobradas em concurso resolvidas passo a passo. Para adquirir o e-book, entre em contato com o Prof. pelo WhatsApp (21) 97380-3201.

1.          Princípio das Casas dos Pombos

O Principio das Casas dos Pombos, também conhecido como o Principio das Gavetas de Dirichlet, pode ser aplicado em alguns problemas de matemática elementar, geometria, teoria dos números, combinatória,  

na teoria de grafos etc. 

Imagine que estamos em um parque e a nossa volta há 17 pombos.  De repente, ocorre uma explosão que os afugenta. Todos fogem para um pombal próximo com 16 buracos.

Vamos considerar que cada pombo ocupe um buraco, ou seja, eles se espalham na média. Logo, se tivéssemos 16 pombos e 16 buracos, cada pombo teria seu buraco.

Como temos 17 pombos, aquele que sobrou ocupará um dos 16 buracos possíveis, já ocupados por um outro pombo.

Conclusão: Pelo menos dois pombos entrarão no mesmo buraco.

2.1         Exercícios Resolvidos

31)  Se estivermos em 100 pessoas em um auditório, quantas pessoas, pelo menos, fazem aniversario no mesmo mês?

a) 6.

b) 7.

c) 8.

d) 9.

e) 10.

Solução:  As pessoas representarão os pombos, e cada um dos 12 meses do ano representarão os buracos do pombal.

Se houvesse em cada mês (buraco) 8 pessoas ou menos, então o numero total de pessoas no auditório seria no máximo 8 x 12 = 96. Mas como temos 100 pessoas, podemos dizer que pelo menos em um dos meses (buracos) há mais de 8 pessoas, ou seja, existem pelo menos 9 pessoas que aniversariam exatamente no mesmo mês.

GABARITO:  D

32)  (Anpad/2003) Para se garantir que em uma sala de aula, haja pelo menos 6 pessoas que aniversariam no mesmo mês, é necessário que existam, no mínimo:

a) 18 pessoas;

b) 36 pessoas;

c) 61 pessoas;

d) 66 pessoas;

e) 72 pessoas.

Solução:  Como o ano tem 12 meses, havendo 13 pessoas na sala, com certeza pelo menos 2 aniversariam no mesmo mês. Então, havendo 60 pessoas, pode ocorrer que existam, com certeza, 5 aniversariando no mesmo mês.

Como queremos pelo menos 6 pessoas no mesmo mês, precisamos ter no mínimo 61 pessoas.

GABARITO:  C

33)  Quantas pessoas, no mínimo, deve haver em um grupo a fim de que possamos garantir que cinco delas tenham nascido no mesmo dia da semana?

a) 29.

b) 36.

c) 22.

d) 45.

e) 50.

Solução:  Uma estratégia interessante para questões desse tipo é pensarmos na “pior” possibilidade, o que costumo chamar, em sala de aula, de “cúmulo do azar”, a Lei de Murphy elevada a enésima potência:  nesse caso é termos 4 pessoas (uma a menos do que o enunciado pediu, cinco) tendo nascido em cada dia da semana (4 num domingo, 4 numa segunda, 4 numa terça etc.).  Teríamos 4 x 7 = 28 pessoas no grupo e ainda não teríamos como garantir a existência de 5 tendo nascido num mesmo dia da semana.

Agora, com a chegada da 29ª pessoa, com certeza absoluta teremos 5 aniversariando em um determinado dia da semana.  Letra A.

É importante salientar que “em condições normais de temperatura e pressão” muito provavelmente conseguiríamos atingir o objetivo (de ter 5 pessoas nascidas num mesmo dia da semana) com menos pessoas no grupo (o “cúmulo da sorte”, no caso, seria termos 5 pessoas no grupo e as 5 aniversariando num mesmo dia da semana).

Precisar “esperar” 29 pessoas é uma situação, digamos, extrema, de baixíssima probabilidade.  Porém, temos que considerá-la.

GABARITO:  29

34)  No último apagão, uma pessoa entrou em seu quarto, sem enxergar absolutamente nada e abriu uma gaveta onde havia 20 meias pretas, 15 brancas e 10 marrons, e nada mais, misturadas e indistinguíveis ao tato.  Qual a quantidade mínima de meias que essa pessoa deve apanhar para que tenha certeza de que apanhou:

a) um par de meias de mesma cor?

Solução:  Vamos novamente pensar nos “cúmulos da sorte e do azar”, para nos ajudar a raciocinar:  o da sorte seria retirarmos 2 meias, sendo as 2 de uma mesma cor (2 pretas ou 2 pretas ou 2 marrons).  Mas não temos como ter certeza de que isso ocorreu, pois poderíamos ter retirado uma preta e uma branca, por exemplo.

O “cúmulo do azar” seria retirarmos três meias, exatamente uma de cada cor (1 branca, 1 preta e 1 marrom) ainda não atingindo o objetivo.

Só que ao retirarmos a quarta meia, não terá jeito:  ela vai coincidir com alguma das 3 cores existentes, formando o par desejado.

Sempre salientando que, se retirássemos 4 meias, poderíamos ter 4 meias brancas, por exemplo.  Ou 3 pretas e 1 marrom, ou 2 marrons e 2 pretas.  Ou ainda, 2 brancas, 1 preta e 1 marrom.  Dentre outros casos.  De qualquer forma, com certeza temos um par de meias de uma determinada cor.

GABARITO:  4

b) um par de meias brancas?

Solução:  Agora a coisa complica um pouco, pois o enunciado determinou a cor que ele quer.  O “cúmulo do azar” seria retirarmos TODAS as meias pretas e marrons e NENHUMA branca, num total de 20 + 10 = 30 meias.

Como agora só restaram meias brancas, basta pegarmos as 2 que queremos.  A resposta será 30 + 2 = 32.

GABARITO:  32

35)  Silvio tem na sua gaveta 17 gravatas azuis, 11 gravatas amarelas, 9 gravatas alaranjadas, 34 gravatas verdes e 2 gravatas roxas. As gravatas estão todas misturadas. Serviu pega em algumas, às escuras, sem ver sua cor. Quantas gravatas ele deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos duas da mesma cor?

a) 5.

b) 18.

c) 6.

d) 9.

e) 3.

Solução:  Vamos raciocinar como na questão anterior, dessa vez sendo 5 cores distintas.  O cúmulo do azar seria retirarmos 5 gravatas e EXATAMENTE uma de cada cor.  A sexta gravata retirada, com certeza, irá coincidir com alguma das cores anteriores.

GABARITO:  C

36)  (MPU – ESAF/2004) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O numero mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é:

a) 6;

b) 4;

c) 2;

d) 8;

e) 10.

Solução:  Mesmo raciocínio das anteriores.  Como são cinco cores, o cúmulo do azar é retirarmos exatamente uma de cada cor.  A sexta camisa, com certeza, irá coincidir com uma das cores retiradas.  Letra A.

GABARITO:  A

37)  Uma urna contém dez bolas: uma branca, duas amarelas, três verdes e quatro pretas. Considere as afirmativas a seguir:

I. Se uma bola for retirada da urna, restará, necessariamente, dentro dela, uma bola de cada uma das quatro cores.

II. Se cinco bolas forem retiradas da urna, restarão em seu interior, necessariamente, bolas apenas com três das quatro cores.

III. Se cinco bolas forem retiradas da urna, entre as bolas retiradas haverá, necessariamente, duas de uma mesma cor.

Assinale:

(A) se somente a afirmativa I estiver correta.

(B) se somente a afirmativa II estiver correta.

(C) se somente a afirmativa III estiver correta.

(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.

(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

Solução:  Vamos analisar cada afirmativa separadamente:

I.  ERRADA, pois, se retirarmos a bola branca (só há uma única dessa cor), só restarão as bolas das outras cores.  O que torna o item errado é a palavra “necessariamente”.

II.  ERRADA, pois, por exemplo, podemos retirar as 3 verdes e as 2 amarelas, restando apenas bolas das cores branca e preta.

III.  CORRETA, pois mesmo se tirarmos uma bola de cada uma das 4 cores, a quinta terá que coincidir com uma das cores retiradas anteriormente.

GABARITO:  C

Quantas pessoas Precisa haver em um auditório para ter certeza de que pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia?

Qual o número mínimo de pessoas em uma sala para ter certeza que dois deles fazem aniversário no mesmo mês?

O que diz o princípio da casa dos pombos?

O que é o princípio das gavetas?