Quantos anagramas começando com vogal e terminando com consoante podemos formar com a palavra ESCOLA

Os anagramas são alterações da sequência das letras de uma palavra. Na Matemática, por meio da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

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Atualidades
Qual o número de anagramas da palavra ESCOLA?
Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que terminam em vogal?
Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que começam com consoante?
Quantas vogais e consoantes tem a palavra ESCOLA?

As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos.

Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.

Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!

Exemplo 1

Quais os anagramas da palavra AMOR?
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

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Exemplo 2

Formar os anagramas a partir da palavra PATO

Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências.
P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO
APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT
TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA
OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP

Exemplo 3

Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?

A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Anagramas"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacoes-simples-e-com-elementos-repetidos.htm. Acesso em 03 de dezembro de 2022.

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Atualidades

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.

Exemplo 1

Vamos determinar os anagramas da palavra:

a) ESCOLA
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o valor de 6! (seis fatorial).
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

b) ESCOLA que inicia com E e termina com A.
E ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 4 letras não fixas.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

Exemplo 2

a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA.
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!.
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880

b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A.
R ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 7 letras não fixadas.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040

Exemplo 3

Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ .
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040

Exemplo 4

A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra.

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Temos que das 10 letras, 3 se repetem. Essas repetições estão nas letras: M, A e T. Nesse caso, devemos retirar a repetição de letras para que a contagem de anagramas não fique comprometida. Para que isso seja feito, devemos dividir a quantidade equivalente ao fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das repetições. Veja:

Quantidade de repetições das letras: M --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!
A --> Repeti 3 vezes, logo devemos calcular o 3!
T --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!

Cálculo da quantidade de anagramas da palavra MATEMÁTICA

10!

10 * 9 . 8 * 7 . 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

3.628.800

= 151200
2! . 3! . 2! (2 * 1) * ( 3 * 2 * 1) * (2 * 1 ) 24

A palavra MATEMÁTICA possui 151200 anagramas.

Exemplo 5

Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado.

A quantidade de palavras será dada por 3!
3 * 2 * 1 = 6 palavras

As palavras são:

OLA
OAL
ALO
AOL
LOA
LAO

Qual o número de anagramas da palavra ESCOLA?

Portanto, a palavra ESCOLA tem 720 anagramas.

Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que terminam em vogal?

Portanto, 360 anagramas terminados por vogal. Fixando uma das vogais no final , sobram 5 letras que devem ser permutadas, logo, temos que fazer P de 5. Mas, temos 3 opções de vogais para colocar no final da palavra, logo, P de 5 acontece 3 vezes. Portanto, 360 anagramas terminados por vogal.