Em um polígono regular de $n$ lados, como todos os ângulos internos são congruentes, podemos calcular cada um deles através da expressão: Show
$$a_i = \dfrac{S_i}{n}$$ 3.1 Exemplo: ângulos internos de um hexágono regularIremos calcular a medida dos ângulos internos de um hexágono regular. Ele é o polígono com $6$ lados, portanto $n = 6$. Primeiro iremos calcular a soma de todos os ângulos internos: \begin{align} Como todos os $6$ ângulos devem ter a mesma medida, basta dividir esta soma por $6$. $$a_i = \dfrac{S_i}{n} = \dfrac{720}{6} = 120^{\circ}$$ Portanto todos os ângulos internos do hexágono regular possuem $120^{\circ}$. 3.2 Exemplo: determinar o número de ladosNeste exemplo iremos descobrir quantos lados um polígono regular possui se o ângulo interno dele mede $150^{\circ}$. Lembrando que o ângulo interno pode ser calculado com a fórmula: $$a_i = \dfrac{S_i}{n},$$ sendo que $S_i = (n-2) \cdot 180$. Então vamos substituir $a_i$ por $150^{\circ}$ e resolver a equação que é criada; o primeiro passo é multiplicar em cruz: \begin{align} Então, se os ângulos internos de um polígono regular medem $150^{\circ}$, ele tem $12$ lados (dodecágono). 3.3 Ângulo interno de quadriláteroNum trapézio, cada ângulo excede o precedente em $20^{o}$. Calcule as medidas dos ângulos dos trapézios. Usando a fórmula de Soma dos ângulos internos de um polígono regular, \begin{align} E dado que o trapézio possui os seguintes ângulos $x$, $x + 20$, $x + 40$, $x + 60$, podemos escrever: Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados. Veja também: Construção de polígonos circunscritos Tópicos deste artigoElementos de um polígonoPolígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer: Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono. Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Nomenclatura de um polígonoPodemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos. Número de lados (n) Nomenclatura 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono
Número de lados + gono Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono. ExemploDetermine o nome do polígono a seguir: A quantidade de lados do polígono é sete, logo, o polígono é um heptágono.Classificação dos polígonosOs polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais. Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular. Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência. Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições Soma dos ângulos internos de um polígonoSeja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si. Assim, a soma dos ângulos internos é dada por: Si = (n - 2) · 180° Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja: ai = Si Exemplo 1Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono. Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos: Si = (n - 2) · 180° Si = (20 - 2) · 180° Si = 18 · 180° Si = 3240° Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados: ai = 3240° ai = 162° Exemplo 2A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono. Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos: 720° = (n - 2) · 180° 720° = 180n – 360° 180n = 720° + 360° 180n = 1080° n = 1080° n = 6 lados Assim, o polígono procurado é o hexágono. Soma dos ângulos externos de um polígonoA soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°. Se = 360° ae = Se ae = 360° Diagonais dos polígonosConsidere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação: d = n · (n - 3) ExemploDetermine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente. Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que: d = 5 · (5 - 3) d = 5 · 2 d = 5 Área e perímetro dos polígonosO perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado. AΔ = base · altura Aquadrado = base · altura ExemploDetermine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular. Solução: Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim: Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja: Ahexágono = 6 · AΔ Ahexágono = 6 · l2 · √3 Ahexágono = 3 · l2 · √3 Ahexágono = 3 · l2·√3 Leia também: Área do triângulo equilátero Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina? a) 1800° b) 1620° c) 1440° d) 1260° e) 1080° Solução Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono. Da imagem podemos ver que: ai + ae = 180° (I) Do enunciado temos que: ai = 3,5 · ae (II) Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que: 3,5 · ae + ae = 180° 4,5 · ae = 180° ae = 180° ae = 40° No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim: Qual o polígono regular cuja medida do ângulo central é 60?Cada ângulo externo de um hexágono mede 60º.
Como se chama o polígono regular cuja medida do ângulo interno é 120?Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°.
Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo externo é igual a 60?Sabendo-se que Se (Soma dos ângulos externos) é = 360°, então 360/60 = 6, ou seja, o polígono tem 6 lados e recebe o nome de hexagonal ou hexalátero.
Qual é a medida de cada ângulo interno do hexágono regular a 60?O hexágono regular possui 6 ângulos internos congruentes, assim a medida de cada ângulo interno é 720º : 6 = 120º. Um outro modo seria utilizar o fato de que a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é 360º, e que o hexágono regular possui 6 ângulos externos congruentes, e fazer 360º : 6 = 60º.
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