Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces

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Respostas

Resposta Questão 1

Para calcular o número de arestas, basta usar a relação de Euler. Observe:

V – A + F = 2

18 – A + 16 = 2

– A = 2 – 18 – 16

A = 16 + 16

A = 32

Gabarito: letra C.

Resposta Questão 2

Dizer que o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades é o mesmo que escrever:

A = V + 6

Substituindo esse valor de A na relação de Euler, teremos:

V – A + F = 2

V – (V + 6) + F = 2

V – V – 6 + F = 2

F = 2 + 6

F = 8

Gabarito: letra B.

Resposta Questão 3

Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:

V – A + F = 2

F – A + F = 2

2F – A = 2

Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.

2F – 16 = 2

2F = 2 + 16

2F = 18

F = 18
      2

F = 9

O poliedro possui 9 faces.

Gabarito: letra D.

Resposta Questão 4

Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos:

V – A + F = 2

F – A + F = 2

2F – A = 2

Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces:

2F – 34 = 2

2F = 2 + 34

2F = 36

F = 36
      2

F = 18

O poliedro possui 18 faces.

Gabarito: letra A.

Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:

Cubo
Vértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6

Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!

Octaedro
Vértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8

Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!

Pirâmide quadrangular
Vértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5

Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?

O que aconteceu em todos os casos?

O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!

Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:

Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler

1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Resolução:

Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.

Qual o número de arestas de um poliedro convexo?

Qual é o número de faces de um poliedro convexo?

Qual o número de faces de um poliedro convexo que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades?

É um poliedro convexo?