O que é o que é um número natural divisível por 2 é 3?

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Encontre o menor número natural não nulo que seja divisível por [tex]2, 3, 4, 5, 6[/tex] e [tex]7[/tex].

Solução 1

Note que o número [tex]2\times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040[/tex] é divisível por [tex]2, 3, 4, 5, 6[/tex] e [tex]7[/tex], mas não é o menor natural com esta propriedade: note que repetimos o fator [tex]2[/tex] ao utilizarmos os números [tex]2, 4[/tex] e [tex]6[/tex] e o fator [tex]3[/tex] ao utilizarmos os números [tex]3[/tex] e [tex]6[/tex].
Ao eliminarmos as repetições do [tex]2[/tex] e do [tex]3[/tex], obtemos o menor número com a propriedade requerida: [tex]4\times 3 \times 5 \times 7=\boxed{420}.[/tex]

Relembrando, o número [tex]420[/tex] é o que chamamos na Matemática de o " Mínimo Múltiplo Comum " dos números [tex]2, 3, 4, 5, 6[/tex] e [tex]7[/tex]. Denotamos essa propriedade como [tex]420= MMC(2, 3, 4, 5, 6, 7).[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Fatorando simultaneamente os algarismos [tex]2,3,4,5,6[/tex] e [tex]7[/tex] obtemos o MMC desses números:

[tex]\qquad \begin{array}{r r r r r r |l}
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 &2\\
1 & 3 & 2 & 5 & 3 & 7 & 2\\
1 & 3 & 1 & 5 & 3 & 7 &3\\
1 & 1 & 1 & 5 & 1 & 7 &5\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 7 &7\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1& 1\\
\end{array}[/tex]

Assim,
[tex]\qquad mmc(2,3,4,5,6,7)=420.[/tex]
Logo, o menor número natural divisível por [tex]2,3,4,5,6[/tex] e [tex]7[/tex] é [tex]420.[/tex]

Solução elaborada pelo COM OCTETO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão os Clubes: Alfa Club ; OCTETO MATEMÁTICO.

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Os critérios de divisibilidade nos ajudam a saber antecipadamente quando um número natural é divisível por um outro.

Ser divisível significa que quando dividimos esses números, o resultado será um número natural e o resto será igual a zero.

Vamos apresentar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

Divisibilidade por 2

Todo número cujo algarismo da unidade é par será divisível por 2, ou seja, os números terminados por 0, 2, 4, 6 e 8.

Exemplo

O número 438 é divisível por 2, pois termina em 8, que é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismo é um número divisível por 3.

Exemplo

Verifique se os números 65283 e 91277 são divisíveis por 3.

Solução

Somando os algarismos dos números indicados, temos:

6 + 5 + 2 + 8 + 3 = 24
9 + 1 + 2 + 7 + 7 = 26

Como 24 é um número divisível por 3 (8 . 3 = 24), então 65283 é divisível por 3. Já o número 26, não é divisível por 3, portanto, 91277 também não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Para um número ser divisível por 4 é necessário que seus dois últimos algarismos sejam 00 ou divisíveis por 4.

Exemplo

Qual das opções abaixo apresenta um números que não é divisível por 4?

a) 35748
b) 20500
c) 97235
d) 70832

Solução

Para responder a questão, vamos verificar os dois últimos algarismos de cada opção:

a) 48 é divisível por 4 (12 . 4 = 48).
b) 00 é divisível por 4.
c) 35 não é divisível por 4, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por 4 seja igual a 35.
d) 32 é divisível por 4 ( 8 . 4 = 32)

Portanto, a resposta é a letra c. O número 97235 não é divisível por 4.S

Divisibilidade por 5

Um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.

Exemplo

Comprei um pacote com 378 canetas e quero guardá-las em 5 caixas, de forma que em cada caixa tenha o mesmo número de canetas e que não sobre nenhuma caneta. Isso será possível?

Solução

O algarismo da unidade do número 378 é diferente de 0 e 5, logo não será possível dividir as canetas em 5 partes iguais sem sobrar resto.

Divisibilidade por 6

Para um número ser divisível por 6 é necessário que seja ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3.

Exemplo

Verifique se o número 43722 é divisível por 6.

Solução

O algarismo da unidade do número é par, logo ele é divisível por 2. Temos ainda que verificar se também é divisível por 3, para isso vamos somar todos os algarismos:

4 + 3 + 7 + 2 + 2 = 18

Como o número é divisível por 2 e por 3, também será divisível por 6.

Divisibilidade por 7

Para saber se um número é divisível por 7 siga os seguintes passos:

• Separe o algarismo da unidade do número
• Multiplique esse algarismo por 2
• Subtraia o valor encontrado do restante do número
• Verifique se o resultado é divisível por 7. Se não souber se o número encontrado é divisível por 7, repita todo o procedimento com o último número encontrado.

Exemplo

Verifique se o número 3625 é divisível por 7.

Solução

Primeiro, vamos separar o algarismo da unidade, que é 5 e multiplicá-lo por 2. O resultado encontrado é 10. O número sem a unidade é 362, subtraindo 10, temos: 362 - 10 = 352.

Contudo, não sabemos se esse número é divisível por 7, então faremos novamente o processo, conforme indicado abaixo:

35 - 2.2 = 35 - 4 = 31

Como 31 não é divisível por 7, o número 3625 também não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número será divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formem um número divisível por 8. Esse critério é mais útil para números com muitos algarismos.

Exemplo

O resto da divisão do número 389 823 129 432 por 8 é igual a zero?

Solução

Se o número for divisível por 8 o resto da divisão será igual a zero, então vamos verificar se é divisível.

O número formado pelos seus 3 últimos algarismos é 432 e este número é divisível por 8, pois 54 . 8 = 432. Portanto, o resto da divisão do número por 8, será igual a zero.

Divisibilidade por 9

O critério de divisibilidade por 9 é muito parecido com o critério do 3. Para ser divisível por 9 é necessário que a soma dos algarismos que formam o número seja divisível por 9.

Exemplo

Verifique se o número 426 513 é divisível por 9.

Solução

Para verificar, basta somar os algarismos do número, ou seja:

4 + 2 + 6 + 5 + 1 + 3 = 21

Como 21 não é divisível por 9, então o número 426 513 também não será.

Divisibilidade por 10

Todo número que o algarismo da unidade é igual a zero é divisível por 10.

Exemplo

O resultado da expressão 76 + 2 . 7 é um número divisível por 10?

Solução

Resolvendo a expressão:

76 + 2 . 7 = 76 + 14 = 90

90 é divisível por 10, pois termina com 0.

Saiba mais sobre a Divisão.

Exercícios Resolvidos

1) Dentre os números apresentados abaixo, o único que não é divisível por 7 é:

a) 546
b) 133
c) 267
d) 875

Ver Resposta

Usando o critério para o 7, temos:

a) 54 - 6 . 2 = 54 - 12 = 42 (divisível por 7)
b) 13 - 3 . 2 = 13 - 6 = 7 (divisível por 7)
c) 26 - 7 . 2 = 26 - 14 = 12 (não é divisível por 7)
d) 87 - 5 . 2 = 87 - 10 = 77 (divisível por 7)

Alternativa: c) 267

2) Analise as seguintes afirmações:

I - O número 3 744 é divisível por 3 e por 4.
II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número divisível por 10.
III - Todo número par é divisível por 6.

Assinale a alternativa correta

a) Apenas a afirmação I é verdadeira.
b) As alternativas I e III são falsas.
c) Todas as afirmações são falsas.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.

Ver Resposta

Analisando cada afirmação:

I - O número é divisível por 3: 3 + 7 + 4 + 4 = 18 e também é divisível por 4: 44 = 11 . 4. Afirmação verdadeira.
II - Multiplicando 762 por 5 encontramos 3810 que é um número divisível por 10, pois acaba com 0. Afirmação verdadeira.
III - Por exemplo o número 16 é par e não é divisível por 6, logo nem todo número par é divisível por 6. Portanto, essa afirmação é falsa.

Alternativa: e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.

3) Para que o número 3814b seja divisível por 4 e por 8 é necessário que b seja igual a:

a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Ver Resposta

Vamos substituir os valores indicados e usar os critérios de divisibilidade para encontrar o algarismo que torna o número divisível por 4 e por 8.

Substituindo por zero, os dois últimos algarismos formarão o número 40 que é divisível por 4, mas o número 140 não é divisível por 8.

Por 2, teremos 42 que não é divisível por 4 e 142 e também não é por 8. Já quando substituímos por 4, temos 44 que é divisível por 4 e 144 e também é divisível por 8.

Também não será 6, pois 46 não é divisível por 4 e 146 e nem por 8. Finalmente, substituindo por 8, temos que o 48 é divisível por 4, mas o 148 não é por 8.

Alternativa: c) 4

Para saber mais, veja também:

• Propriedade da multiplicação
• Tabuada
• Divisores
• Múltiplos e Divisores
• Decomposição em fatores primos
• O que são números primos?
• Múltiplos

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

É um número divisível por 2 é 3?

Qual o maior número natural divisível por 2 é 3?

Que números são divisíveis por 2 é por 3 ao mesmo tempo?

Qual é o menor número natural que é divisível por 2 Por 3 é por 5?