Os eventos são mutuamente independentes mostre por quê

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• Como saber se os eventos são independentes?
• Quando dois eventos são independentes Eles também são mutuamente exclusivos?
• O que são eventos dependentes é independentes?
• Como calcular evento independente?

117 pág.

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) = 200
200
= 1 6= Pr(E) = 4
5
Exemplo 3.10 Sejam A e B eventos independentes em um espaço amostral Ω. Prove que os
seguintes eventos também são independentes:
1. A e B
2. A e B
Solução:
1. Temos que
Pr(A ∩B) = Pr(B −A) = Pr(B)− Pr(A ∩B)
Como A e B são independentes, Pr(A ∩B) = Pr(A) Pr(B). Logo,
Pr(A ∩B) = Pr(B)− Pr(A) Pr(B)
= Pr(B) [1− Pr(A)]
= Pr(B) Pr(A)
Logo, os eventos A e B são independentes.
2. Pela lei de De Morgan e pela lei do complementar, temos que
Pr(A ∩B) = Pr(A ∪B) = 1− Pr(A ∪B)
= 1− Pr(A)− Pr(B) + Pr(A ∩B)
Como A e B são independentes, Pr(A ∩B) = Pr(A) Pr(B). Logo,
Pr(A ∩B) = 1− Pr(A)− Pr(B) + Pr(A) Pr(B)
= [1− Pr(A)]− Pr(B) [1− Pr(A)]
= [1− Pr(A)] [1− Pr(B)]
= Pr(A) Pr(B)
Logo, A e B são independentes.
CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 65
3.6.2 Exercícios
3.9 Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω tais que Pr(A) = 1
5
, Pr(B) = p e Pr(A∪B) = 1
2
.
Determine o valor de p para que A e B sejam independentes.
3.10 Volte ao Exercício 3.4 da Seção 3.2. Verifique se os eventos considerados são independentes.
3.11 Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω tais que Pr(A) > 0 e Pr(B) > 0.
1. Mostre que se A e B são independentes, então A e B não podem ser mutuamente exclusivos.
2. Mostre que se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B não podem ser independentes.
3.7 Exercícios Complementares
3.12 Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que Pr(A) = 0, 3; Pr(B) = 0, 7 e
Pr(A ∩B) = 0, 21. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
1. A e B são mutuamente exclusivos;
2. A e B são independentes;
3. A e B são independentes;
4. A e B são mutuamente exclusivos;
5. A e A são independentes.
3.13 Dois dados equilibrados são lançados.
1. Calcule a probabilidade de sair 6 em pelo menos um dado.
2. Sabendo-se que saíram faces diferentes nos dois dados, determine a probabilidade de sair 6
em pelo menos um dado.
3. Os eventos “seis em pelo menos um dado” e “faces diferentes nos dois dados” são indepen-
dentes?
3.14 Uma sala possui três soquetes para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6
estão queimadas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso, colocando-se as mesmas nos três bocais. Calcular
a probabilidade de que:
1. pelo menos uma lâmpada acenda;
2. todas as lâmpadas acendam.
CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 66
3.15 O Ministério da Economia da Espanha acredita que a probabilidade da inflação ficar abaixo
de 3% este ano é de 0,20; entre 3% e 4% é de 0,45 e acima de 4% é de 0,35. O Ministério
acredita que, com inflação abaixo de 3%, a probabilidade de se criar mais 200.000 empregos é de
0,6, diminuindo essa probabilidade para 0,3 caso a inflação fique entre 3% e 4%; no entanto, com
inflação acima de 4%, isso é totalmente impossível. Qual é a probabilidade de se criarem 200.000
empregos nesse ano?
3.16 Na urna I há 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Na urna II há 3 bolas vermelhas e
5 brancas. Lança-se um dado equilibrado. Se sair 3 ou 6, escolhe-se uma bola da urna I; caso
contrário, escolhe-se uma bola da urna II. Calcule a probabilidade de
1. sair uma bola vermelha;
2. sair uma bola branca;
3. sair uma bola azul.
3.17 Joana quer enviar uma carta a Camila. A probabilidade de que Joana escreva a carta é 8
10
.
A probabilidade de que o correio não a perca é 9
10
. A probabilidade de que o carteiro a entregue é
também 9
10
.
1. Construa o diagrama de árvore representando o espaço amostral deste problema.
2. Calcule a probabilidade de Camila não receber a carta.
3.18 Sejam A e B dois eventos tais que Pr(A) = 0, 4 e Pr(A ∪ B) = 0, 7. Seja Pr(B) = p.
Determine o valor de p para que
1. A e B sejam mutuamente exclusivos;
2. A e B sejam independentes.
3.19 Sejam A e B eventos possíveis de um mesmo espaço amostral Ω. Se P (A|B) = 1 verifique
a veracidade das seguintes afirmativas, justificando sua resposta.
1. A e B são independentes.
2. A e B são mutuamente exclusivos.
3.20 Sejam A, B, C eventos de um mesmo espaço amostral. Sabe-se que (i) B é um subconjunto
de A; (ii) A e C são independentes e (iii) B e C são mutuamente exclusivos. A probabilidade do
complementar da união dos eventos A e C é 0,48; a probabilidade da união dos eventos B e C é
0,3 e a probabilidade do evento C é o dobro da probabilidade do evento B. Calcule a probabilidade
da união de A e B.
3.21 Uma comissão de dois estudantes deve ser sorteada de um grupo de 5 alunas e 3 alunos.
Sejam os eventos:
M1 = “primeiro estudante sorteado é mulher”
M2 = “segundo estudante sorteado é mulher”
CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 67
1. Construa um diagrama de árvore que represente o espaço amostral deste experimento, indi-
cando as probabilidades.
2. Calcule Pr(M1) e Pr(M2).
3. Verifique se M1 e M2 são independentes.
3.22 Em um campeonato de natação, estão competindo três estudantes: Alberto, Bosco e Carlos.
Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de ganhar, que é o dobro da de Carlos ganhar.
1. Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição.
2. Que hipótese você fez para resolver essa questão? Essa hipótese é razoável?
3.23 Solicita-se a dois estudantes, Maria e Pedro, que resolvam determinado problema. Eles
trabalham na solução do mesmo independentemente, e têm, respectivamente, probabilidade 0,8 e
0,7 de resolvê-lo.
1. Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
2. Qual é a probabilidade do problema ser resolvido?
3. Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas
por Pedro?
3.24 Joga-se um dado duas vezes. Considere os seguintes eventos: A = “ resultado do primeiro
lançamento é par” e B = “soma dos resultados é par”. A e B são independentes? Justifique.
3.25 Um aluno responde a uma questão de múltipla escolha com 4 alternativas, com uma só
correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de 30%. Se ele não sabe a
resposta, existe a possibilidade de ele acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a
resposta certa por “cola”. Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?
Capítulo 4
Teorema da Probabilidade Total e
Teorema de Bayes
Neste capítulo, você estudará dois importantes teoremas de probabilidade e verá suas aplicações
em diversas situações envolvendo a tomada de decisão. Esses teoremas, conhecidos como teorema
da probabilidade total e teorema de Bayes, resultam diretamente da definição de probabilidade
condicional e das propriedades vistas para a probabilidade.
A apresentação desses teoremas será feita inicialmente através de exemplos, para que você
compreenda bem o contexto de sua aplicação. Ao final, será apresentada a formulação geral dos
teoremas.
Exemplo 4.1
Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas
máquinas. A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35% da produção e os 65% restantes vêm
da máquina 2. A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estima-
se em 5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em 2,5% a proporção de
defeituosas produzidas pela máquina 2. As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para
o departamento de armazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual
máquina a produziu.
1. Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica?
2. Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido
produzida pela máquina 2?
Solução:
1. Na Figura 4.1 representa-se a situação descrita no exemplo. Nosso experimento aleatório
é o sorteio de uma peça produzida por essa fábrica e nosso espaço amostral, representado
pelo retângulo, é o conjunto de todas as peças produzidas

Como saber se os eventos são independentes?

Quando dois eventos são independentes Eles também são mutuamente exclusivos?

O que são eventos dependentes é independentes?

Como calcular evento independente?