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TeoriaVimos na parte de funções exponenciais que uma função exponencial é sempre decrescente ou sempre crescente. Essa condição dependerá de sua base. b a s e x Se tivermos: 0 < b a s e < 1 A função será decrescente, ao passo que: b a s e > 1 Implicará na função sempre crescente. Dessa maneira, por exemplo, a inequação: ( 0 , 5 ) x 1 > ( 0 , 5 ) x 2 Só será verdadeira se: x 1 < x 2 Com sinal trocado em relação a inequação correspondente, pois a base é menor que um e, portanto, a função é decrescente. Já: 2 x 1 > 2 x 2 Só será verdade se: x 1 > x 2 Com o mesmo sinal da inequação correspondente, pois a base é maior que e, portanto, a função é crescente. Dessa forma, a inequação: e x + 1 > e 2 x - 1 Implica na inequação: x + 1 > 2 x - 1 Pois: e > 1 E a inequação: 0 , 1 5 x ≥ 0 , 1 2 Implica em: 5 x ≤ 2 Pois: 0 , 1 < 1 Essas inequações são simples de resolver, caso tenha dificuldade, volte as inequações de primeiro grau e depois você vai concordar comigo. Inequações exponenciais de bases diferentesQuando a base da inequação é diferente, como quando: 2 x + 1 ≤ 4 x Precisamos dar uma manipulada nas bases para tentar igualá-las. Lembre que: 4 = 2 2 Substituindo essa beleza: 2 x + 1 ≤ 2 2 x ⟹ 2 x + 1 ≤ 2 2 x Agora ficou fácil: x + 1 ≤ 2 x Que sabemos resolver: x ≥ 1 Inequações logarítmicasPara inequações logarítmicas, temos a mesma ideia das exponenciais. Para a notação: log base a Se: 0 < b a s e < 1 O sinal da desigualdade irá trocar, ou seja, para: log 1 / 2 ( x + 1 ) < log 1 / 2 ( 2 x ) Temos a inequação correspondente: x + 1 > 2 x Já para quando: b a s e > 1 O sinal da desigualdade se mantém: log ( 2 x + 1 ) > log ( 5 ) → 2 x + 1 > 5 Sabendo que, quando a base está oculta na notação, ela é 10. Tudo certo? Vamos aos exercícios. Inequações exponenciais de bases diferentesInequações logarítmicasExercícios ResolvidosExercício Resolvido #1Elaboração Própria Determine o conjunto solução das seguintes inequações a) 2 x ≥ 2 4 b) 1 3 x ≥ 1 3 2 c) x 2 x - 1 < x 3 ; x ≠ 1 , x > 0 Passo 1(a) Como a base é maior que 1, a expressão é sempre crescente e como consequência: x ≥ 4 Sim, é só isso. Passo 2(b) Como a base tem valor entre 0 e 1, a expressão é sempre decrescente, logo: x ≤ 2 Passo 3(c) Aqui é um pouco mais complicado, mas nada demais. Vamos olhar as duas últimas condições: x ≠ 1 x > 0 Isso significa que, ou x está entre 0 e 1 ou x é maior do que 1. Vamos ver esses dois casos. Para 0 < x < 1, a expressão é sempre decrescente, e invertemos a desigualdade: 2 x - 1 > 3 Isolando: 2 x > 4 x > 2 Ops, mas nessa definimos que 0 < x < 1 e obtemos x > 2, logo, para essa região, não há solução. Passo 4Agora, para x > 1, não invertemos a desigualdade e teremos: 2 x - 1 < 3 Isolando: 2 x < 4 x < 2 Definimos x > 1 e obtemos x < 2, então a solução será: 1 < x < 2 Resposta(a) x ≥ 4 (b) x ≤ 2 (c) 1 < x < 2 Exercício Resolvido #2Elaboração Própria Determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) log 1 3 log 4 x 2 - 5 > 0 b) log 2 ( x - 3 ) + log 2 ( x - 2 ) ≤ 1 Passo 1(a) Temos que: log 1 3 1 = 0 Pois qualquer número elevado 0 dá 1 . Assim temos que: log 1 3 log 4 x 2 - 5 > 0 → log 1 3 log 4 x 2 - 5 > log 1 3 1 Como as bases são menores que um e maiores que zero, cortamos o log e invertemos a desigualdade: log 4 x 2 - 5 < 1 Passo 2Agora muita atenção, detalhe importantíssimo: os argumentos dos logaritmos têm que ser positivos!! Log de zero, ou log de número negativo não pode! E lá no enunciado a gente tinha o termo log 1 3 log 4 x 2 - 5 Ou seja, também devemos ter: log 4 x 2 - 5 > 0 Daí concluímos que: 0 < log 4 x 2 - 5 < 1 Passo 3Dito isso, vamos continuar! Temos que: log 4 1 = 0 log 4 4 = 1 Então: 0 < log 4 x 2 - 5 < 1 → log 4 1 < log 4 x 2 - 5 < log 4 4 Como a base 4 é maior que um, cortamos o log e mantemos a desigualdade: 1 < x 2 - 5 < 4 Passo 4Vamos resolver as duas inequações separadamente: x 2 - 5 > 1 e x 2 - 5 < 4 Começando pela primeira: x 2 - 5 > 1 x 2 > 6 ⇒ x < - 6 o u x > 6 Agora vamos pra segunda: x 2 - 9 < 0 ⇒ - 3 < x < 3 Juntando tudo, obtemos a solução final da inequação: - 3 < x < - 6 o u 6 < x < 3 Passo 5(b) Antes de mais nada, vamos relembrar: os termos dentro dos logs têm que ser positivos, então, pra começo de conversa já sabemos que: x - 3 > 0 ⇒ x > 3 x - 2 > 0 ⇒ x > 2 ⇒ x > 3 Beleza, agora podemos continuar. :) Passo 6Usando a propriedade do log: log 2 x - 3 + log 2 x - 2 = log 2 x - 3 x - 2 Como: log 2 2 = 1 Substituindo: log 2 x - 3 x - 2 ≤ log 2 2 Como a base é maior que 1 , cortamos o log e mantemos a desigualdade: x - 3 x - 2 ≤ 2 Distribuindo: x 2 - 5 x + 4 ≤ 0 Agora é resolver inequação de segundo grau, que terá solução: 1 ≤ x ≤ 4 Mas vimos antes que x > 3 , então a solução é: 3 < x ≤ 4 Resposta(a) - 3 < x < - 6 o u 6 < x < 3 (b) 3 < x ≤ 4 Exercício Resolvido #3Elaboração Própria Determine o conjunto solução da seguinte inequação: 3 t ≤ 9 2 / t Passo 1A primeira coisa que vamos fazer, é colocar esses caras na mesma base. Daí vamos escrever: 3 t ≤ 9 2 / t 3 t ≤ ( 3 2 ) 2 / t 3 t ≤ 3 4 / t Passo 2Como a nossa base é maior do que 1, podemos escrever: t ≤ 4 t Daí, teremos: t - 4 t ≤ 0 t 2 - 4 t ≤ 0 Temos aí um quociente entre uma equação do 2º grau e uma do 1º grau Passo 3As raízes de t ² - 4 = 0 serão t 1 = 2 e t 2 = - 2. E essa função é crescente. A raiz de t será igual a 0.Essa função do primeiro grau também será crescente. Agora, vamos construir a nossa tabelinha Vale observar que não podemos colocar o t = 0, pois isso geraria uma divisão por zero, uma indeterminação matemática. Sendo assim, nosso conjunto solução será: S = - ∞ , - 2 ∪ ( 0,2 ] RespostaExercício Resolvido #4Elaboração Própria Determine o conjunto solução da seguinte inequação: 2 - x 3 x 2 - x - 1 ≤ 0 Passo 1Vamos observar algumas coisas. Primeiro: Essa função nunca será igual a zero, pois o numerador ( 2 - x ) nunca será igual a zero. Segundo: Se você prestar atenção, o numerador sempre será positivo, então para essa função ser negativa, o denominador precisa ser negativo. Ou seja, podemos dizer: 3 x 2 - x - 1 < 0 Passo 2Vamos resolver essa nova inequação agora 3 x 2 - x - 1 < 0 3 x 2 - x < 1 3 x 2 - x < 3 0 Como a base é maior do que 1, podemos escrever: x 2 - x < 0 x x - 1 < 0 A raiz de x vai ser igual a 0 e a raiz de x - 1 vai ser igual a 1. As duas são funções do 1º grau CRESCENTES ( a > 0 ). Sendo assim, vamos montar a nossa tabelinha. Show? Então nossa solução será: S = ( 0,1 ) RespostaExercício Resolvido #5UPF 2014 As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes pelas funções M ( t ) = log 8 ( 1 + t ) 6 N ( t ) = log 2 ( 4 t + 4 ) Onde a variável trepresenta o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior do que a da outra. O valor mínimo desse instante t é: a)-1 b)0 c)2 d)3 e) 4 Passo 1Vamos supor que a população da cidade M é maior que a população da cidade N. Ou seja M t > N ( t ) Reescrevendo, temos: log 8 ( 1 + t ) 6 > log 2 4 t + 4 log 2 3 ( 1 + t ) 6 > log 2 4 t + 1 Aplicando as propriedade, temos: 6 3 log 2 ( 1 + t ) > log 2 4 + log 2 ( 1 + t ) 2 log 2 ( 1 + t ) - log 2 ( 1 + t ) > log 2 4 log 2 ( t + 1 ) > log 2 4 Logo, t + 1 > 4 t > 3 Portanto, após 3 anos, a população da cidade M será sempre maior do que a da cidade N RespostaExercícios de Livros RelacionadosDemonstrar:Se a ≥ 0 e b ≥ 0 , então a 2 = b 2 se e somente se a = b . Ver Mais Ver Também Ver tudo sobre Pré-CálculoInequações modularesInequações trigonométricasLista de exercícios de Inequações exponenciais e logarítmicasQuando uma inequação exponencial é crescente é quando é decrescente?A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = ax somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x) = ax é decrescente.
Quando uma função exponencial é considerada crescente ou decrescente?Uma função exponencial é dita crescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Isso ocorre quando a base é maior que 1, ou seja: a > 1. Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui.
É exemplo de função exponencial decrescente?Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
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