| Definição Axiomática de Probabilidade A definição axiomática de probabilidade encara probabilidade como uma função cujo domínio é o espaço amostral. Show Seja A um subconjunto qualquer do espaço amostral S. Podemos definir uma função P(.) tal que, se A ÍS, então P(A) é a probabilidade de que o resultado da experiência aleatória seja um elemento de A. Esta função P(.) "pega" elementos do espaço amostral e os leva num subconjunto dos reais, o intervalo [0,1]. Probabilidade Seja S o espaço amostral e A um subconjunto qualquer deste espaço. Uma função de probabilidade que atua sobre este espaço amostral satisfaz : i) 0 ii) P(S) = 1 iii) P(A1ÈA2ÈA3È .....) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3) + ... onde os Ai são mutuamente exclusivos. Note que esta última propriedade é válida, em particular, quando existe um número finito de termos na união. Estas três propriedades definem o tipo de função que pode ser chamada de "probabilidade". Logo, uma probabilidade é uma função que mapeia elementos do espaço amostral em [0,1] de modo que a probabilidade de todo o espaço amostral é um, a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades de cada um dos conjuntos na união e, finalmente, a probabilidade de qualquer subconjunto do espaço amostral é um número no intervalo [0,1]. Propriedades das Probabilidades Seja A um subconjunto qualquer de S e o complemento de A. Seja P(.) uma probabilidade definida no espaço amostral S. As seguintes propriedades são válidas, e decorrem da definição de probabilidade: i) Pr(Æ) = 0 ii) Para todo A ÍSÞPr()= 1 - Pr(A) onde é o complemento de A iii)Para todo AÍSÞP(A)£P(S) iv) Para todo A ÍSÞ0£Pr(A)£1 v) Sejam A1, A2 ÍS tais que A1ÍA2 então Pr(A1) Pr(A2) Note que esta última propriedade resulta num certo tipo de "ordem" dentro do espaço amostral, e diz simplesmente que, se um evento A1 está contido noutro, a probabilidade. de A é menor ou igual à probabilidade do evento que o contém. A propriedade a seguir é uma das mais importantes na prática, e nos permite calcular a probabilidade da união de eventos que não são disjuntos. vi) Se A1, A2ÍS então Pr(A1 ÈA2) = Pr(A1) + Pr(A2) - Pr(A1Ç A2) Em particular, se A1 e A2 são conjuntos disjuntos, então
Pr(A1ÈA2) = Pr(A1) + Pr(A2). vii) Para quaisquer 3 eventos A1, A2 e A3 em S temos :
Exemplos Muito bem, agora temos uma definição do tipo de função que pode ser chamada de probabilidade, mas isto não resolve inteiramente o nosso problema. Como é que, na prática, estabelecemos valores para probabilidades. Em outras palavras, o que nos leva a dizer que a probabilidade de "sair" o número 2 na jogada de um dado é 1/6 ? Na prática probabilidades são estabelecidas com base em uma das seguintes coisas: experiências ou observações prévias, considerações analíticas ou experimentais ou "chutes educados" . A idéia de estabelecer probabilidades a partir de experiências prévias está intimamente relacionada com a noção de freqüência relativa. Seja E uma experiência aleatória, se supomos que a experiência pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições. Sejam A e B eventos quaisquer, e na e nb representam o número de ocorrências dos eventos A e B nas n repetições da experiência E. Por exemplo, suponha que E é a experiência : jogar um dado e observar o número que saiu. Seja A o evento : saiu um número par, e B o evento : saiu o número 6. Joga-se o dado 20 vezes, e observa-se as seguintes freqüências para cada face do dado :
Então : na = 11 e nb = 2, e n = 20 ( número de repetições da experiência). Intuitivamente, se tivéssemos jogado o dado um número bem maior de vezes, nós nos sentiríamos mais confiantes em afirmar que a probabilidade de uma das faces do dado seria igual ao número de vezes em que aquela face "saiu" dividido pelo número de repetições da experiência. Freqüência relativa A freqüência relativa de um evento A , denotada por fA é definida por : fA = na / n onde na indica o número de ocorrências do evento A dentre as n repetições da experiência. A partir da definição vemos que as freqüências relativas dos eventos A e B são, respectivamente, 11/20 = 0.55 e 2/20 = 0.10 . Propriedades das freqüências relativas 1 - 0£fA£ 1 2 - fA = 0 se, e somente se, o evento A não ocorre em nenhuma das n repetições da experiência. 3 - fA = 1 se, e somente se, o evento A ocorreu em todas as repetições da experiência. 4 - Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então : fA ÈB = fA + fB 5 - Quando n (o número de repetições) tende a infinito, fA tende a se estabilizar, e converge para um número, que é a probabilidade do evento A. Esta última propriedade é fundamental. É ela que nos permite intuir que a probabilidade de "sair" o número 2 numa jogada de um dado é 1/6. Por exemplo, suponha que jogamos um dado 20, 60, 120, 600 e 6000 vezes e registramos o número de ocorrências de cada face do dado. Possíveis resultados são mostrados na próxima tabela.
Ou seja, "lá no final" (n = 6000) esperamos que n1, n2, ..., n6 estejam todos próximos de 1000, de tal forma que as freqüências relativas de cada face do dado estejam perto de 1/6 . É claro que não observaremos exatamente n1 = n2 = .... = n6 = 1000 sempre que jogarmos o dado 6000 vezes , pois cada jogada do dado é uma experiência aleatória. Quais são os elementos do espaço amostral?O espaço amostral é um conjunto representado pela letra grega Ω, e seu número de elementos é representado por n(Ω). Um ponto amostral é um resultado possível e único de um experimento aleatório. No exemplo do lançamento de um dado, os pontos amostrais são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Quantos elementos têm o espaço amostral de dois dados?O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Como é dividido o espaço amostral?Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Qual é espaço amostral?O espaço amostral, denotado pela letra S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
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Quantos são os elementos do espaço amostral?
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