Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece exatamente duas vezes?

PRINCÍPIO ADITIVO

Considere a seguinte situação:

João interessou-se em assistir a 3 filmes e 2 peças de teatro que estão em cartaz, no entanto, só tem condições de custear um único evento. De quantas maneiras João poderá escolher um programa para fazer?

Resolução:

Se ele tem dinheiro para assistir apenas a um evento, então ou ele assiste ao Filme 1, ou ao Filme 2, ou ao Filme 3, ou à Peça 1, ou à Peça 2. Ao todo, serão cinco programas distintos.

O que nós acabamos de usar é um princípio muito importante nos métodos de contagem, chamado de Princípio Aditivo. De uma maneira geral, podemos enunciar o princípio aditivo da seguinte forma:

Princípio aditivo: Se A e B são dois conjuntos disjuntos com, respectivamente, p e q elementos, então possui:

p + q elementos

No exemplo anterior podemos identificar os conjuntos:

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

Considere a seguinte situação:

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João interessou-se em assistir a 3 filmes e 2 peças de teatro que estão em cartaz, tendo condições de custear um filme e uma peça de teatro. De quantas maneiras João poderá fazer uma programação, escolhendo um filme e uma peça para assistir?

Resolução:

Vamos enumerar as possibilidades:

Filme  1  e  Peça  1

Filme  1  e  Peça  2

Filme  2  e  Peça  1

Filme  2  e  Peça  2

Filme  3  e  Peça  1

Filme  3  e  Peça  2

Portanto, João poderá escolher dentre 6 programas diferentes, se optar por assistir a um filme e a uma peça.

Note que, para cada filme escolhido, existem duas possibilidades de escolha para a peça de teatro. Como são três possibilidades de filme, temos um total de 3 . 2 = 6  maneiras de fazer uma programação.

O que nós acabamos de usar é um princípio muito importante nos métodos de contagem, chamado de Princípio Multiplicativo. De um modo geral, podemos enunciar o princípio multiplicativo da seguinte forma:

Princípio multiplicativo: Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se, para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m . n.

O PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO

Considere o seguinte exemplo:

Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

Resolução:

Resolver esse problema de forma direta seria muito trabalhoso. Pois pensar que o algarismo 2 deve aparecer pelo menos uma vez, significa que ele pode aparecer uma vez, duas vezes, três vezes ou quatro vezes. Logo teríamos que calcular todos esses casos, o que seria muito trabalhoso. Note que, se queremos que o algarismo 2 apareça pelo menos uma vez, a única situação que não queremos é o caso onde ele não aparece. E é trabalhando com essa ideia que resolveremos o problema de forma mais simples. Calcularemos o total de casos que existem e excluímos os casos que não nos interessam. Daí ficamos apenas com os casos que nos interessam. Primeiramente vamos calcular quantos números de 4 algarismos existem (com ou sem o algarismo 2)

Vamos agora calcular quantos números de 4 algarismos existem onde não aparece o algarismo 2.

Agora fazemos a diferença

Logo existem 3.168 números de quatro algarismos onde o algarismo 2 aparece pelo menos uma vez.

Esse método onde calculamos o total de casos possíveis e excluímos os casos que não nos interessa, é chamado de princípio da exclusão

O PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET

Considere o seguinte exemplo:

Qual é o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que entre elas há duas que fazem aniversário no mesmo mês?

Resolução:

A resposta é 13.  Se houvesse apenas 12 pessoas, seria possível que cada uma delas fizesse aniversário em um mês diferente, já que o ano possui 12 meses.  Com 13 pessoas, há, necessariamente, pelo menos um mês com mais de um aniversariante  (se houvesse, no máximo, um aniversário por mês, o número de pessoas presentes seria, no máximo, 12).

O argumento empregado acima é conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas do Pombos.

Um possível enunciado para este princípio é o seguinte:

Se n objetos forem colocados em, no máximo, (n – 1) gavetas, então pelo menos uma delas conterá, pelo menos, dois objetos.

Quantos números de até 4 algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1 2 3 4 5 6 7?

Quantos algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4?