O termo “progressão aritmética” remete a um desenvolvimento gradual de um processo ou uma sucessão. Em matemática, dizemos que esta sucessão é uma sequência. Podemos exemplificar algumas sequências conhecidas: Show
Note que em todos os exemplos acima, as sequências são definidas por uma ordem em seus elementos (também chamados de termos). Definimos o tamanho de uma sequência pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja infinita ou finita. Em uma sequência, finita ou infinita, nomeamos os termos em função de sua posição, ou seja, nos exemplos acima temos que o 1º termo de cada um são: 1994, 1990 e 0. O segundo termo: 1998, 1994 e 1. Assim, determinamos que um termo de uma sequência em função de sua posição pode ser chamado de , onde n representa a sua posição (1ª, 2ª, 3ª, ..., nª). Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representa-la de uma forma genérica: (a1, a2, a3, a4, ... an)
Termo Geral de uma Progressão AritméticaPerceba que, nos exemplos acima, todos os termos das sequências, a partir do 2º, são obtidos com a soma de um número fixo. Vejamos a sequência dos números naturais: Cada termo, iniciando com 0 (a1) é obtido somando 1 ao seu anterior. Ou seja: a2 = a1 + 1 = 1 a3 = a2 + 1 = (a1+1)+1 = 2 a4 = a3 + 1 = (a2+1)+1 = [(a1+1)+1]+1 = 3 ... No caso da sequência dos números naturais, o número 1 que é somado a cada termo é chamado de razão da progressão (r). Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo de uma sequência é a soma do elemento anterior com sua razão. Se analisarmos os outros exemplos, vemos que elas possuem uma razão igual a 4. Vamos agora reescrever os termos da sequência em função de r (razão). a2 = a1 + r a3 = a2 + r = (a1+r)+r = a1+2r a4 = a3 + r = (a2+r)+r = [(a1+r)+r]+r = a1+3r ... Ora, se continuarmos realizando esta operação para os próximos termos, encontramos então uma fórmula para determinar o termo geral de uma progressão aritmética, que será dado por: an = a1 + (n-1)r E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.A. Sejam m e n posições quaisquer dos termos, temos: an = am + (n-m)r Imagine que nosso desejo seja obter o 500º termo da sequência dos números naturais. Como a1 = 0, r = 1 e buscamos o termo a500, pela fórmula teremos: a500 = a1+(500-1)r a500 = 0+(500-1) . 1 a500 = 499 O termo da 500ª posição dos números naturais é o número 499. Propriedade importante!Qualquer termo de uma P.A., a partir do segundo termo (a2), é sempre igual à média aritmética entre os termos anterior e posterior a ele. Então para n ≥ 2, temos que: Exemplo: Seja a sequência em progressão aritmética definida por (-7, -2, 3, 8, 13, 18), note que: Soma dos termos de uma progressão aritmética finitaTomemos a sequência dos números naturais de 1 a 10: (1, 2, 3, 4, ..., 8, 9, 10) e representaremos a soma de 10 termos da P.A. por S10. Então escrevemos: S10 = 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 + 10 O matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) notou que em toda PA finita existe uma relação em que ao escolhermos um termo qualquer em uma sequência e somarmos ao seu extremo simétrico (ou o seu termo equidistante) obtemos sempre o mesmo valor, veja abaixo: Gauss utilizou este procedimento para obter a fórmula da soma dos termos da PA. No exemplo acima, notem que teremos, no total, n/2 parcelas de valor (n+1), ou seja (5 x 11 = 55). Esta relação vale para a soma dos termos de uma P.A. Gauss constatou então que: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an-2 + an-1 + an Sn = (a1+an) + (a1+an) + ... + (a1+an) Como existem n/2 parcelas iguais a (a1+an), então a fórmula é dada por: Esta fórmula serve para qualquer PA de qualquer razão, pois independente do valor dos seus termos as propriedades das somas de suas parcelas também são válidas. Referências Bibliográficas: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011. ÁVILA, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1999. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/progressao-aritmetica/ Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a: O que é uma progressão aritmética PA )? De um exemplo?Progressão arimética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão. Por exemplo, considere a sequência a seguir: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...) Podemos então dizer que a razão (r) dessa sequência numérica é 2.
Como fazer uma progressão aritmética?A progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do 2º, é igual a soma do termo anterior com uma constante x. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da PA. Por exemplo, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, …
Como se chama essa sequência 1 3 5 7 9 11?1) 3, 5, 7, 9… Veja que a primeira sequência é uma soma de dois em dois, descobrimos isso fazendo a subtração do segundo termo pelo primeiro: 5 - 3= 2. Como essa sequência está aumentando, podemos chamá-la de crescente.
Quais são as progressão aritmética?A P.A. pode ser crescente, decrescente ou constante quando a razão for positiva, negativa ou nula, respectivamente. Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser classificada como finita ou infinita.
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